Hans Walser, [20190523]

Rollkurven und Evolute

1 Worum geht es?

Verallgemeinerung der Kardioide und der zugehörigen Evolute. Illustrationen.

2 Kardioide als Rollkurve

Wird auf einem Kreis ein gleich großer Kreis abgerollt, beschreibt ein Peripheriepunkt des rollenden Kreises relativ zum Koordinatensystem des Standkreises eine Kardioide (Abb. 1). Siehe auch Animation „A1_Kardioide“.

Abb. 1: Kardioide

3 Evolute der Kardioide

Abb. 2: Evolute der Kardioide

In der Abbildung 2 sind die Kurvennormalen der Kardioide eingezeichnet. Diese hüllen die Evolute der Kardioide ein. Die Animation „A2_Evolute“ illustriert den Sachverhalt.

Die Evolute ist ebenfalls eine Kardioide, gegenüber der ursprünglichen Kardioide mit dem Faktor ein Drittel verkleinert und um 180° gedreht.

4 Folge von Evoluten

Wir können den Prozess des Evolutenbildens iterieren (Abb. 3).

Abb. 3: Folge von Evoluten

5 Kleinere Rollradien

Wenn wir den Radius des Rollkreises halbieren, ergeben sich zwei Spitzen nach innen, weil der Rollkreis doppelt so viele Drehungen braucht, um auf dem Standkreis abzurollen. Bei Dritteln des Rollradius ergeben sich drei Spitzen usw. (Abb. 4).

In der Animation „A3_n_Spitzen“ kann die Anzahl n der Spitzen an einem Schieber eingestellt werden.

Abb. 4: Mehrere Spitzen nach innen

6 Evoluten

Die Evoluten sind ebenfalls Rollkurven (Abb. 5 für n = 6).

Der Verkleinerungsfaktor ist und der Verdrehungswinkel .

Abb. 5: Evolute

Entsprechend kann iteriert werden (Abb. 6).

Abb. 6: Iteration

7 Rationales

In „A4_p_q“ hat es zwei Schieber. Die Leserin mag selber herausfinden, was es damit auf sich hat. Die Abbildung 7 zeigt die Situation für p = 3 und q = 2.

Abb. 7: 3/2 ist rational

Weblinks

Hans Walser: Kardioide und regelmäßige Vielecke

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kardioide3/index.html

Hans Walser: Al-Sijizi

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Al-Sijzi/index.html

Hans Walser: Die Herzkurve und die Möndchen des Hippokrates

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/H/Herzkurve_u_Hippokrates/Herzkurve_u_Hippokrates.htm

Hans Walser: Herzkurve als Enveloppe

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/H/Herzkurve3/Herzkurve3.htm

Hans Walser: Kardioide als Spiegelbild der Parabel bei Kreisspiegelung

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kardioide2/Kardioide2.htm

Hans Walser: Kardioide und Goldener Schnitt

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kardioide/Kardioide.htm

Hans Walser: Umkreis bei regelmäßigen Vielecken

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/U/Umkreis/index.html