Hans Walser, [20160714]
Runde Wellenlinien
Es werden zirkulŠr angeordnete Wellenlinien besprochen.
Wir zeichnen konzentrische Kreise mit den Radien 2, 4, 6, 8, 10, ... (Abb. 1). So entstehen Kreisringe der Breite 2.
Abb. 1: Kreisringe
Die Kreisringe haben von innen nach au§en die linear zunehmenden FlŠcheninhalte 4¹, 12¹, 20¹, 28¹, 36¹, ... . Wir kšnnen sie also unterteilen in Ringsektoren mit dem konstanten FlŠcheninhalt 4¹ (Abb. 2).
Abb. 2: FlŠchengleiche Rinngsektoren
Die Abbildung 3 zeigt einen Treppengiebel, der aus Rechtecken der LŠnge 2¹ und der Hšhe 2 aufgebaut ist.
Abb. 3: Treppengiebel
Wir sehen, dass die Abbildung 2 sozusagen die aufgewickelte Form der Abbildung 3 ist.
Ein Rechteck der LŠnge 2¹ und der Hšhe 2 oder allgemein ein Rechteck mit gleichen SeitenverhŠltnissen kommt in verschiedenen ZusammenhŠngen vor.
So passt etwa die flŠchenverhŠltnistreue normalachsige Weltkarte (cylindrical equal area) nach Archimedes / Lambert in ein solches Rechteck (Abb. 4).
Abb. 4: FlŠchenverhŠltnistreue Weltkarte
Aber ebenso passt eine gewšhnliche Kosinuskurve in dieses Rechteck (Abb. 5).
Abb. 5: Kosinuskurve
Die Kosinuskurve verlŠuft durch Schnittpunkte von Meridianen und Breitenkreisen der flŠchenverhŠltnistreuen Karte. Man kann sich Ÿberlegen, warum das so sein muss.
Die Abbildung 6 zeigt Kosinuskurven im Treppengiebel der Abbildung 3.
Abb. 6: Kosinuskurven im Treppengiebel
Nun wickeln wir den Treppengiebel mitsamt den Kosinuskurven zur Kreisfigur gemŠ§ Abbildung 2 auf (Abb. 7). So erhalten wir runde Wellenlinien.
Abb. 7: Runde Wellenlinien
Die Abbildung 8 zeigt mehr Ringe. Die Unterteilungen in flŠchengleiche Ringsektoren sind aber weggelassen.
Abb. 8: Mehr runde Wellenlinien
Die Gesamtfigur hat eine senkrechte Symmetrieachse.
Wenn wir die Frequenz verdoppeln, halbiert sich die WellenlŠnge (Abb. 9). Wir haben jetzt eine senkrechte und eine waagereche Symmetrieachse.
Abb. 9: Zwei Symmetrieachsen
Die Abbildungen 10 bis 13 zeigen Beispiele mit 3 bis 6 Symmetrieachsen.
Abb. 10: Drei Symmetrieachsen
Abb. 11: Vier Symmetrieachsen
Abb. 12: FŸnf Symmetrieachsen
Abb. 13: Sechs Symmetrieachsen
Die Abbildungen 14 bis 19 zeigen die Zentrumsfiguren der Abbildungen 8 bis 13, also die Figuren im innersten Kreis.
Im Beispiel der Abbildung 8 erhalten wir die so genannte Kardioide (Abb. 14). Die Kardioide hat die ganzzahlige BogenlŠnge 8.
Abb. 14: Kardioide
Im Beispiel der Abbildung 9 erhalten wir ein Doppel-Ei (Abb. 15). Die Kurve hat die GesamtlŠnge 11.04138399, also kein ãschšnesÒ Resultat.
Abb. 15: Doppel-Ei
Aus den Abbildungen 10 bis 13 ergeben sich die KleeblŠtter oder Rosetten der Abbildungen 16 bis 19.
Abb. 16: Kleeblatt
Abb. 17: Kleeblatt mit vier BlŠttern
Abb. 18: FŸnf BlŠtter
Abb. 19: Sechs BlŠtter
Websites
Cylindrical equal area (17. 07. 2016)
http://swai.ethz.ch/swaie/MapProjector/MapProjector.de.html