Hans Walser, [20160709]

Rytzsche Achsenkonstruktion

1     Worum geht es?

Die Rytzsche Achsenkonstruktion (David Rytz, 1801-1868) gestattet, aus zwei konjugierten Halbmessern einer Ellipse deren Achsen zu konsturieren. Konjugierte Halbmesser stehen in der zum Kreis entzerrten Ellipse senkrecht aufeinander.

Wir verallgemeinern die Konstruktion auf zwei Halbmesser, welche in der zum Kreis entzerrten Situation einen beliebigen Winkel  einschlie§en. Wir verwenden dazu die Bezeichnung -konjugierte Halbmesser.

2     Konstruktion

Wir beschreiben schrittweise die Konstruktion.

In den folgenden Abbildungen ist .

Die Ellipse habe den Mittelpunkt O. Die Strecken OA und OB seien die beiden gegeben -konjugieren Halbmesser (Abb. 1).

2.1    Drehen

Wir drehen den Punkt A um O um den Winkel . Endpunkt .

 

Abb. 1: Start

2.2    Ortskreis

Zur Strecke  passen wir einen Ortskreis o fźr den Winkel  ein (Abb. 2). Mittelpunkt M.

Abb. 2: Ortskreis

Was Šndert sich, wenn wir mit dem zweiten Ortskreis (an der Geraden  gespiegelt) weiterfahren?

2.3    Strahl

Wir schneiden den Ortskreis o mit dem Strahl OM (Abb. 3). Schnittpunkte P und Q.

Abb. 3: Schnitt mit Ortsstrahl

2.4    Achsen

Die Katheten des bei B rechtwinkligen Dreieckes PQB sind parallel zu den gesuchten Ellipsenachsen (Abb. 4).

Abb. 4: Achsen der Ellipse

2.5    AchsenlŠngen

Die Strecken OP und OQ haben die LŠngen der Halbachsen. Damit kšnnen der Šu§ere Kreis ka und der innere Kreis ki gezeichnet werden (Abb. 5).

Abb. 5: AchsenlŠngen

2.6    Ellipse

Die Abbildung 6 zeigt die zu den gegebenen -konjugierten Halbmessern passende Ellipse.

Abb. 6: Ellipse

3     Begrźndung

Die Begrźndung der Konstruktion geht analog zur Rytzschen Achsenkonstruktion aus 90ˇ-konjugierten Halbmessern.