Hans Walser, [20071208b]

RegelmŠ§iges n-Eck und regelmŠ§iger n-Pass

1        Worum es geht

Die Ÿbliche Parameterdarstellung des Kreises wird so modifiziert, dass regelmŠ§ige Figuren mit n Ecken entstehen.

2        n-Eck im Einheitskreis

2.1      Spitzen und HŸgel

Wir arbeiten mit der Funktion:

 

 

MuPAD:

f:=(n,t)->cos(PI/n)/cos(((n*t-PI)/(2*PI)-round((n*t-PI)/(2*PI)))*2*PI/n):

FŸr und  sieht das so aus:

 

Die Funktion

 

FŸr den Kehrwert der Funktion , also fŸr

,

 

 

ergibt sich ein Funktionsgraf mit ãHŸgelnÒ.

 

Kehrwert

 

2.2      Das regelmŠ§ige n-Eck

Wir verwenden nun die Funktion  als variablen ãRadiusÒ eines Kreises:

 

 

FŸr  erhalten wir:

 

Dreieck

 

Es gibt ein gleichseitiges Dreieck im Einheitskreis. Allgemein erhalten wir ein regelmŠ§iges n-Eck im Einheitskreis.

2.3      Der regelmŠ§ige n-Pass

Mit der Funktion  ergibt sich:

 

 

FŸr  erhalten wir einen so genannten Dreipass:

 

Dreipass

 

Dieser Dreipass ergibt sich aus dem Dreieck durch Spiegelung am Einheitskreis.

 

Kreisspiegelung

 

3        n-Eck mit Einheitskreis als Inkreis

3.1      HŸgel und Spitzen

Wir arbeiten mit der Funktion:

 

 

MuPAD:

f:=(n,t)->cos((n*t/(2*PI)-round(n*t/(2*PI)))*2*PI/n):

FŸr und  sieht das so aus:

 

Die Funktion

 

Die Funktion ist sozusagen die obere Kontur des Drei-Phasen-Wechselstromes.

FŸr den Kehrwert erhalten wir:

 

 

FŸr und  sieht das so aus:

 

Kehrwert

 

Wir haben nun drei Spitzen.

3.2      Das regelmŠ§ige n-Eck

Wir verwenden diese Funktion nun als variablen ãRadiusÒ eines Kreises:

 

 

FŸr  erhalten wir:

 

Dreieck

 

Es gibt ein gleichseitiges Dreieck mit dem Einheitskreis als Innenkreis. Allgemein erhalten wir ein regelmŠ§iges n-Eck mit dem Einheitskreis als Innenkreis.

3.3      Der regelmŠ§ige n-Pass

Mit der Funktion  ergibt sich:

 

 

FŸr  erhalten wir einen so genannten Dreipass:

 

Dreipass

 

Dieser Dreipass ergibt sich aus dem Dreieck durch Spiegelung am Einheitskreis.

 

Kreisspiegelung

 

3.4      Weitere Beispiele

Im folgenden die Beispiele fŸr .

 

Beispiele

 

3.5      Einpassen

Wir kšnnen dem n-Pass ein kleineres n-Eck einpassen, der Verkleinerungsfaktor ist . Beispiel fŸr .

 

Einpassen eines kleineren FŸnfeckes

 

4        Iteration

Wir kšnnen die Figuren iterieren. Beispiel fŸr .

 

Iteration

 

Iteration