Hans Walser, [20200214]

S-Korbbogen

Idee und Anregung: Anton Gfrerrer, Graz

1   Worum geht es?

Zwei Halbgeraden (Abb. 1) sind mit einem S-Korbbogen zu verbinden, wobei die beiden Bšgen denselben Radius haben sollen.

Abb. 1: Problemstellung

Die Abbildung 2 zeigt eine der beiden Lšsungen.

Abb. 2: Lšsung

2   Schubspiegelung

Die Bedingung der gleichen Radien der beiden Korbbšgen gehen wir mit Symmetrien an. ZunŠchst arbeiten wir mit einer Schubspiegelung (Abb. 3). Diese soll den Punkt A auf den Punkt B abbilden und die Halbgerade a auf die zur Halbgeraden b komplementŠre Halbgerade. Die Achse l dieser Schubspiegelung verlŠuft durch den Mittelpunkt M der Strecke AB. Ihre Richtung ergibt sich durch Winkelhalbierende von a und b. Die Strecke PQ ist die SchublŠnge. Wir brauchen im Folgenden die halbe SchublŠnge, in der Abbildung 3 fett eingezeichnet.

Abb. 3: Schubspiegelung

Im Folgenden werden die Details der Konstruktion der Schubspiegelelemente nicht mehr angegeben.

3   NŠchste Konstruktionsschritte

Wir zeichnen in B die Normale n zu b und damit ein rechtwinkliges Dreieck (gelb in Abb. 4) mit der Strecke QB als der einen Kathete und der halben SchublŠnge als der anderen Kathete. Die HypotenusenlŠnge verwenden wir als Radius eines Kreises um Q. Diesen Kreis schneiden wir mit l in S1 und S2. Wir arbeiten im Folgenden mit S1 weiter. Die aus S2 sich ergebende zweite Lšsung wird unten angegeben.

Abb. 4: Normale. Rechtwinkliges Dreieck. Kreis

Wir schneiden die Normale zu l in S1 mit der Geraden n (Abb. 5). Der Schnittpunkt Nb ist das Zentrum des TrŠgerkreises des von B ausgehenden Korbbogens. Er verlŠuft bis zum Schnittpunkt † mit l.

Abb. 5: Der eine der beiden Kreisbšgen

Punktspiegelung an † liefert den TrŠgerkreis des anderen Bogens (Abb. 6).

Abb. 6: Der andere Korbbogen

4   Hintergrund

Wir bilden die Halbgerade a und den von A ausgehenden Korbbogen mit unserer Schubspiegelung ab (magenta in Abb. 7). Der schubgespiegelte Korbbogen und der von B ausgehende Korbbogen liegen additiv auf demselben Kreis, der aber noch eine LŸcke offen hat. Die Sehne dieser LŸcke, also die Strecke ††Õ, hat die SchublŠnge der Schubspiegelung.

Abb. 7: Schubspiegelung

Aus dem Potenzsatz (Potenz des Punktes Q bezŸglich des Kreises mit der LŸcke) ergibt sich die Stimmigkeit unserer Konstruktion.

5   Zweite Lšsung

Der Punkt S2 fŸhrt analog zur zweiten Lšsung (Abb. 8).

Abb. 8: Zweite Lšsung

Die Abbildung 9 zeigt die †berlagerung der beiden Lšsungen.

Man kann die Figur fŸr einen Spurwechsel von Rechtsverkehr auf Linksverkehr benutzen. Allerdings sind Korbbšgen wegen der abrupten KrŸmmungsŠnderung an den †bergangspunkten fŸr Verkehrstrassen nicht geeignet.

Abb. 9: Beide Lšsungen

 

Websites

[1] Frank Rolfdieter und Walser Hans: Korbbšgen ­– wie kriegen wir die Kurve?

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Korbboegen/Korbboegen.pdf

 

[2] Hans Walser: S-Korbbogen

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/S-Korbbogen/S-Korbbogen.htm