1 Worum es geht

Ein Dreiecks-Theorem.

2 Das Theorem

Wir unterteilen ein Dreieck mit den Seitenhalbierenden in sechs Teildreiecke (Abb. 1).

Abb. 1: Unterteilung

Nun drehen wir jedes Dreieck an der Seitenmitte rechtwinklig nach außen (Abb. 2).

Abb. 2: Nach außen drehen

Es entstehen drei Dreiecke (Abb. 3). Diese sind kongruent. Dies ist das Theorem von Sallows.

Abb. 3: Kongruente Dreiecke

3 Beweis

Wir haben die Kongruenz der drei Dreiecke nachzuweisen. Dazu betten wir das Dreieck in einen Dreiecksrater ein (Abb. 4).

Abb. 4: Dreiecksraster

Wir sehen unsere Dreiecke an verschiedenen Orten. In Abbildung 5 ist ein Beispiel hervorgehoben. Die Dreiecke sind offensichtlich kongruent.

Abb. 5: Kongruente Dreiecke

4 Variante

Wir drehen jedes zweite Teildreieck um die Seitenmitte um 180° (Abb. 6 und Abb. 7). Die drei entstehenden Dreiecke sind kongruent. Beweis analog.

Abb. 6: Drei kongruente Dreiecke

Abb. 7: Jedes zweite Teildreieck wird gedreht

Die drei entstehenden kongruenten Dreiecke können durch Translationen zur Deckung gebracht werden (Abb. 8).

Abb. 8: Kongruente Dreiecke

Die Abbildung 9 zeigt die Kombination der Abbildungen 7 und 8.

Abb. 9: Animation

5 Drittel

Die kongruenten Dreiecke sind flächenmäßig je ein Drittel der Fläche des Startdreiecks. In der Überlagerung der drei kongruenten Dreiecke (Abb. 10) sehen wir also eine Drittelung des Startdreiecks.

Abb. 10: Flächenmäßige Drittelung

Die Abbildung 11 illustriert die Flächendrittelung. Jedes Teilstück im Innern des Drittelsdreiecks kommt im Äußern zweimal vor.

Abb. 11: Flächendrittelung

Literatur

Sallows, L. (2014): A triangle theorem. Mathematics Magazine, 87, 381. DOI 10.4169/math.mag.87-5-381.

Sigmund Karl (2024): Sternstunden für Späteinsteiger. Mitteilungen der deutschen Mathematiker-Vereinigung. 2024, 32, 3. 166-169. DOI 10.1515/dmvm-2024-0052.