Hans Walser, [20260707]
Sandhaufen
1 Worum es geht
Modellierung der Erosion
Abzählproblem
Figuren
2 Beschreibung
Iteration: Wir denken uns mehrere Stapel von Quadraten nebeneinandergestellt. Ferner wählen wir eine Schranke, zum Beispiel 3. Wenn ein Stapel höher ist als die Schranke, entfernen wir die obersten beiden Quadrate und geben den benachbarten Stapeln links und rechts je ein Quadrat.
Wir starten mit einem einzigen Stapel der Starthöhe n.
Die Deutung der Quadrate als Sandkörner führt zu einer Modellierung des Zerfalls eines Sandhaufens. Daher der Titel.
3 Beispiel
Wir wählen die Starthöhe n = 11 und die Schranke 3. Beim Start haben wir einen Stapel von elf Quadraten (Abb. 1.0)
Abb. 1.0: Startsituation
Da 11 die Schranke 3 übersteigt, wird der Stapel um zwei Quadrate reduziert. Diese werden den (zunächst noch leeren) Stapeln links und rechts beigefügt (Abb. 1.1).
Abb. 1.1: Schritt 1
Die Höhe 9 des zentralen Stapels übersteigt die Schranke 3 immer noch. Er wird erneut um zwei Quadrate reduziert, welche den Stapeln links und rechts beigefügt werden (Abb. 1.2).
Abb. 1.2: Schritt 2
Die Höhe 7 des zentralen Stapels übersteigt die Schranke 3 immer noch. Er wird erneut um zwei Quadrate reduziert, welche den Stapeln links und rechts beigefügt werden (Abb. 1.3).
Abb. 1.3: Schritt 3
Die Höhe 5 des zentralen Stapels übersteigt die Schranke 3 immer noch. Er wird erneut um zwei Quadrate reduziert, welche den Stapeln links und rechts beigefügt werden (Abb. 1.4).
Abb. 1.4: Schritt 4
Nun ist der mittlere Stapel im Bereich der Schranke, aber die beiden Stapel links und rechts sind zu hoch. Sie werden je um zwei Quadrate reduziert. Das eine Quadrat vom Stapel links geht ganz nach links zum benachbarten Stapel, das andere geht zum Stapel in der Mitte. Entsprechend wird mit den beiden Quadraten vom Stapel rechts verfahren (Abb. 1.5).
Abb. 1.5: Schritt 5
Nun ist der Stapel in der Mitte wieder zu hoch. Er verliert die beiden obersten Quadrate. Diese gehen zu den Stapeln links und rechts davon (Abb. 1.6).
Abb. 1.6: Schritt 6
Nun ist Ordnung im Stall. Das Spiel ist beendet. Wir benötigen sechs Schritte zur Erreichung der Endlage.
Die Animation (Abb. 2) zeigt die Schritte im Sekundentakt.
Abb. 2: Schritte
Für n = 11 und die Schranke 1 ergeben sich die Schritte der Abb. 3. Wir brauchen 21 Schritte.
Abb. 3: Schranke 1
Für n = 11 und die Schranke 2 benötigen wir 11 Schritte (Abb. 4).
Abb. 4: Schranke 2
4 Weitere Beispiele
4.1 Starthöhe 12
Abb. 5: Starthöhe 12
4.2 Starthöhe 24
Abb.
6: Starthöhe 24
5 Anzahl Schritte
Die Tabelle 1 gibt die Anzahl der benötigten Schritte in Abhängigkeit von der Starthöhe n und der Schranke s.
Tab. 1: Anzahl Schritte
Die Spalte für s = 1 findet sich hier.
Spannend ist die Tabelle nur für Schranken, welche kleiner als ein Drittel der Starthöhe ist. Für größere Schranken wird nur der zentrale Startstapel abgebaut (Abb. 7 für n = 15 und s = 5).
Abb. 7: Abbau des Startstapels
Weblinks
The
On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS)
Literatur
Labs, Oliver, und Skrodzki,
Martin (2026): Abelian Sandpiles. Mitteilungen der
deutschen Mathematiker-Vereinigung, dmvm-2026-0031, S. 132.DOI 10.1515