Hans Walser, [20091114a]
Schachbrett
Anregung: Christian
Hesse (vgl. [Hesse 2009.1], [Hesse 2009.2]).
Schachbrett
Spielregeln: Wir kšnnen
zwei beliebige Spalten oder zwei beliebige Zeilen in einem Schachbrett
vertauschen.
Frage: Welche der
folgenden BrettfŠrbungen kšnnen durch eine Serie dieser AustauschvorgŠnge
erreicht werden?
Welche FŠrbungen kšnnen
erreicht werden?
Antwort
a) ja b)
nein c)
ja d)
nein e)
nein f)
nein
g) ja h)
ja i)
ja j)
ja k)
nein l)
nein
m) nein n)
nein o)
nein p)
nein q)
nein r)
nein
Bemerkungen
Bei den
AustauschvorgŠngen Šndert sich die Anzahl der wei§en beziehungsweise schwarzen
Felder nicht. Daher kšnnen b), d), e) und f) ausgeschlossen werden.
Bei den
AustauschvorgŠngen Šndert sich die Anzahl der wei§en beziehungsweise schwarzen
Felder weder spaltenweise noch zeilenweise. Daher kšnnen k), l), m) und n)
ausgeschlossen werden.
Wenn wir zwei Spalten
und anschlie§end zwei Zeilen vertauschen, ergibt sich dasselbe, wie wenn wir
zuerst die beiden Zeilen und dann die beiden Spalten vertauschen. Wir kšnnen
daher die AustauschvorgŠnge so durchfźhren, dass wir zuerst alle Spaltenvertauschungen
und dann alle Zeilenvertauschungen vornehmen. Durch die Spaltenvertauschungen
kšnnen wir zunŠchst eine beliebige Referenzzeile der ZielfŠrbung realisieren,
durch die anschlie§enden Zeilenvertauschungen eine Referenzspalte. Durch
zyklische Verdrehungen vertikal und horizontal (Bewegungen auf dem Torus) kann
angenommen werden, dass die Referenzzeile die oberste Zeile ist und die
Referenzspalte die Spalte ganz links. Die integrale BrettfŠrbung ist also durch
die FŠrbung oben und links (Randverteilung) determiniert. Somit kšnnen die
FŠlle a), c), g), h), i) und j) explizit verifiziert und die noch offenen FŠlle
o), p), q) und r) explizit ausgeschlossen werden. Die Randverteilung von o)
ergibt:
Randverteilung von o)
Die Randverteilung von
p) liefert das originale Schachbrett, jene von q) ergibt ein zyklisch
verdrehtes Bild von c):
Randverteilung von q)
Die Randverteilung von
r) liefert c).
Literatur
[Hesse 2009.1] Hesse, Christian: Mathematik und Schach und Schšnheit. Mitteilungen der DMV, 17/2009, S. 156-161
[Hesse 2009.2] Hesse,
Christian: RŠtsel rund um das Schachbrett. Mitteilungen der DMV, 17/2009, S.
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