Hans Walser, [20091114a]

Schachbrett

Anregung: Christian Hesse (vgl. [Hesse 2009.1], [Hesse 2009.2]).

Schachbrett

Spielregeln: Wir kšnnen zwei beliebige Spalten oder zwei beliebige Zeilen in einem Schachbrett vertauschen.

Frage: Welche der folgenden BrettfŠrbungen kšnnen durch eine Serie dieser AustauschvorgŠnge erreicht werden?

 

Welche FŠrbungen kšnnen erreicht werden?

Antwort

a) ja                 b) nein            c) ja                 d) nein            e) nein             f) nein

g) ja                h) ja                i) ja                 j) ja                 k) nein            l) nein

m) nein           n) nein            o) nein            p) nein            q) nein            r) nein

Bemerkungen

Bei den AustauschvorgŠngen Šndert sich die Anzahl der wei§en beziehungsweise schwarzen Felder nicht. Daher kšnnen b), d), e) und f) ausgeschlossen werden.

Bei den AustauschvorgŠngen Šndert sich die Anzahl der wei§en beziehungsweise schwarzen Felder weder spaltenweise noch zeilenweise. Daher kšnnen k), l), m) und n) ausgeschlossen werden.

Wenn wir zwei Spalten und anschlie§end zwei Zeilen vertauschen, ergibt sich dasselbe, wie wenn wir zuerst die beiden Zeilen und dann die beiden Spalten vertauschen. Wir kšnnen daher die AustauschvorgŠnge so durchfźhren, dass wir zuerst alle Spaltenvertauschungen und dann alle Zeilenvertauschungen vornehmen. Durch die Spaltenvertauschungen kšnnen wir zunŠchst eine beliebige Referenzzeile der ZielfŠrbung realisieren, durch die anschlie§enden Zeilenvertauschungen eine Referenzspalte. Durch zyklische Verdrehungen vertikal und horizontal (Bewegungen auf dem Torus) kann angenommen werden, dass die Referenzzeile die oberste Zeile ist und die Referenzspalte die Spalte ganz links. Die integrale BrettfŠrbung ist also durch die FŠrbung oben und links (Randverteilung) determiniert. Somit kšnnen die FŠlle a), c), g), h), i) und j) explizit verifiziert und die noch offenen FŠlle o), p), q) und r) explizit ausgeschlossen werden. Die Randverteilung von o) ergibt:

Randverteilung von o)

Die Randverteilung von p) liefert das originale Schachbrett, jene von q) ergibt ein zyklisch verdrehtes Bild von c):

Randverteilung von q)

Die Randverteilung von r) liefert c).

Literatur

[Hesse 2009.1]           Hesse, Christian: Mathematik und Schach und Schšnheit. Mitteilungen der DMV, 17/2009, S. 156-161

[Hesse 2009.2]           Hesse, Christian: RŠtsel rund um das Schachbrett. Mitteilungen der DMV, 17/2009, S. 162