1 Worum es geht

Ein Viereck soll von einem inneren Punkt aus in flächengleiche Dreiecke zerlegt werden.

2 Dreieck

Beim Dreieck geht dies mit dem Schwerpunkt (Abb. 1). Es gibt also für jedes Dreieck genau eine Lösung.

Abb. 1: Schwerpunkt im Dreieck

Begründung: Jedes Dreieck ist affin regulär.

3 Viereck

Gesucht ist ein Viereck ABCD mit der Eigenschaft, dass es im Innern einen Punkt P gibt, so dass die Dreiecke PAB, PBC, PCD und PDA flächengleich sind.

Eine naheliegende Lösung ist das Parallelogramm, P ist der Diagonalen-Schnittpunkt (Abb. 2).

Abb. 2: Parallelogramm

Wir deformieren nun das Parallelogramm wie folgt: Das rote und das grüne Dreieck lassen wir unangetastet. Beim gelben und beim hellblauen Dreieck verschieben wir die obere Ecke parallel zur anderen Diagonale (Abb. 3). Der Flächeninhalt dieser beiden Dreiecke bleibt erhalten. Damit haben wir eine weitere Lösung.

Abb. 3: Deformation

Das so deformierte Viereck hat eine Schrägspiegelsymmetrie (Abb. 4). Es ist also ein schiefes Drachenviereck. Der gesuchte schwarze Punkt P liegt auf der Schrägspiegelsymmetrieachse und ist der Mittelpunkt der betreffenden Diagonale.

Abb. 4: Schrägspiegelsymmetrie. Schiefes Drachenviereck

Jedes schiefe Drachenviereck ist eine Lösung, der Punkt P ist der Mittelpunkt der Diagonale auf der Schrägspiegelsymmetrieachse.

Die Frage ist, ob es noch weitere Lösungen gibt. Dazu nehmen wir an, der Punkt P liege nicht auf einer Diagonalen (Abb. 5).

Abb. 5: Teilpunkt außerhalb der Diagonalen

Das rote und das grüne Dreieck haben den gleichen Flächeninhalt und eine Seite gemeinsam. Daher sind die Höhen auf diese Seite gleich lang (Abb. 6).

Abb. 6: Gleiche Höhen

Daraus ergibt sich, dass der orange Schnittpunkt mit der Diagonale in der Mitte dieser Diagonale liegt (Abb. 7).

Abb. 7: Mittelpunkt der Diagonale

Die analoge Überlegung für das gelbe und das hellblaue Dreieck führt zu einem zweiten Mittelpunkt der Diagonale (braun in Abb. 8).

Abb. 8: Zweiter Mittelpunkt

Da eine Strecke aber genau einen Mittelpunkt hat, haben wir einen Widerspruch.

Die Lösungen unseres Problems sind also die normalen oder die schiefen Drachenvierecke. Der Punkt P ist der Mittelpunkt der Symmetrieachse.