Hans Walser, [20150928]
Schiefer Pythagoras
Es wird eine Variation des Satzes des Pythagoras bearbeitet, welche nicht auf das rechtwinklige Dreieck beschrŠnkt ist.
Die Abbildung 1 illustriert den klassischen Satz des Pythagoras.
Abb. 1: Blau = rot
Der rechte Winkel des gelben Dreiecks ist wesentlich. Wir der rechte Winkel zum Beispiel durch einen spitzen Winkel ersetzt, verkleinert sich das blaue Quadrat (Abb. 2).
Abb. 2: Blau < rot
Wir kšnnen die Figur der Abbildung 1 erweitern (Abb. 3). Somit erhalten wir eine achsensymmetrische Figur.
Abb. 3: Blau = 2 mal rot
Wenn wir in der Figur der Abbildung 3 den rechten Winkel verŠndern, bleibt die Gleichheit erhalten (Abb. 4).
Abb. 4: Blau = 2 mal rot
Das eine blaue Quadrat wird kleiner, das andere aber flŠchenmŠ§ig um gleich viel grš§er.
Wir verschieben die beiden blauen Quadrate der Abbildung 4 gemŠ§ Abbildung 5. Dann kšnnen wir die ursprŸnglichen roten Quadrate je viermal ansetzen, auch hier ausschlie§lich mit Verschiebungen in die Endlage gebracht.
Abb. 5: Iteration
FŸr den rechnerischen Beweis mit dem Kosinussatz verwenden wir die Bezeichnungen der Abbildung 6.
Abb. 6: Bezeichnungen
Nach dem Kosinussatz ist:
(1)
(2)
Wegen sind die beiden Kosinuswerte entgegengesetzt gleich. Addition von (1) und (2) liefert daher:
(3)
Wegen
(4)
ist bei gegebenen ganzzahligen Werten fŸr a, b, c der Wert d in der Regel nicht ganzzahlig. Es gibt aber ganzzahlige (ãpythagoreischeÒ) Lšsungen, etwa a = 9, b = 7, c = 8 und d = 14. Die Abbildung 7 zeigt die Figur mit einem Zerlegungsbeweis fŸr (3).
Abb. 7: Ganzzahliges Beispiel
Die beiden rechtwinkligen Dreiecke der Figur der Abbildung 3 sind kongruent.
Die beiden Dreiecke der Figur der Abbildung 4 sind nicht kongruent. Das eine ist spitzwinklig, das andere stumpfwinklig. Trotzdem haben sie Gemeinsamkeiten.
Die beiden Dreiecke sind flŠchengleich.
Mit den Bezeichnungen der Abbildung 6 erhalten wir fŸr die beiden Dreiecke die FlŠcheninhalte:
(5)
Wegen sind die beiden Sinuswerte gleich.
Die Abbildung 8 zeigt einen Zerlegungsbeweis.
Abb. 8: Zerlegungsbeweis
Wir kšnnen die beiden Dreiecke durch Punktspiegelung je zu einem Parallelogramm ergŠnzen (Abb. 9). Die beiden Parallelogramme sind kongruent und um 90¡ relativ zueinander verdreht.
Abb. 9: ErgŠnzungsbeweis
Die roten Quadrate und die gelben Parallelogramme kšnnen zu einer Parkettierung erweitert werden (Abb. 10).
Abb. 10: Parkettierung
Die beiden gelben Dreiecke haben einen Punkt gemeinsam. Die Hšhe des einen Dreiecks durch diesen Punkt liegt auf derselben Geraden wie die Seitenhalbierende des anderen Dreiecks (Abb. 11).
Abb. 11: Hšhen und Seitenhalbierende
Der Beweis ergibt sich aus der ErgŠnzung der Dreiecke zum Parallelogramm gemŠ§ Abbildung 9. Die Parallelogramme sind um 90¡ verdreht. Wenn wir noch je die zweite Diagonale einzeichnen, wird alles klar (Abb. 12).
Abb. 12: Beweis
Die Bildlegende der Abbildung 4 und die entsprechende Gleichung (3) enthalten den Faktor 2, der als Šsthetische Stšrung empfunden werden kann.
Wir kšnnen ihn loswerden, indem wir die blauen Quadrate halbieren (Abb. 13).
Abb. 13: Blau = rot
Nun sind wir den Faktor 2 los, dafŸr haben wir einerseits rote Quadrate und andererseits blaue rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke.
Der Autor hat diese Figur als Sangaku in Bonn gesehen. Sie war der Auslšser zu den vorliegenden †berlegungen.
Wir kšnnen auch die roten Quadrate halbieren und die blauen Quadrate vierteilen gemŠ§ Abbildung 14. Dann haben wir ausschlie§lich rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke.
Abb. 14: Blau = rot
Die Abbildung 15 zeigt dasselbe wie die Abbildung 14, aber ohne ZusŠtze.
Abb. 15: Blau = rot
Im Folgenden einige Eigenschaften der Figur der Abbildung 15.
Die Umkreise (Thaleskreise) der vier rechtwinklig gleichschenkligen Dreiecke verlaufen durch einen gemeinsamen Punkt (Abb. 16).
Abb. 16: Umkreise
Den Grund dafŸr werden wir gleich einsehen.
Wir zeichnen zwei Diagonalen (ãDurchmesserdiagonalenÒ) gemŠ§ Abbildung 17.
Abb. 17: Diagonalen
Die beiden Diagonalen sind gleich lang und orthogonal. FŸr den Beweis verwenden wir die beiden in der Abbildung 18 grau eingezeichneten Dreiecke. Diese gehen durch eine Drehung um 90¡ um den gemeinsamen Punkt der beiden roten rechtwinklig gleichschenkligen Dreiecke auseinander hervor.
Abb. 18: Beweisdreiecke
Damit ist auch die Schnittpunkteigenschaft der vier Umkreise (Abb. 16) bewiesen.
Wir klappen die beiden roten rechtwinklig gleichschenkligen Dreiecke nach au§en und dafŸr die beiden blauen nach innen (Abb. 19).
Abb. 19: Inversion
Die beiden blauen Dreieck haben die Spitze gemeinsam. FŸr den Beweis zeichnen wir die beiden Thaleskreise Ÿber den Basen der blauen Dreiecke (vgl. Abb. 16). Diese Thaleskreise verlaufen durch den Schnittpunkt der beiden orthogonalen Diagonalen gleicher LŠnge. Sie haben aber noch einen zweiten Schnittpunkt. Die beiden in der Abbildung 20 braun eingezeichneten Dreiecke mit einem gemeinsamen Eckpunkt in diesem zweiten Schnittpunkt sind daher rechtwinklig.
Abb. 20: Zweiter Schnittpunkt der Thaleskreise
Um zu zeigen, dass sie auch rechtwinklig sind, arbeiten wir mit den beiden in der Abbildung 21 eingezeichneten grauen Dreiecken.
Abb. 21: Die beiden grauen Dreiecke
Entsprechende Seiten dieser beiden grauen Dreiecke stehen je orthogonal zueinander. Die beiden grauen Dreiecke sind also Šhnlich. Da sie aber zudem in einer Seite (den gleich langen orthogonalen Diagonalen) Ÿbereinstimmen, sind sie sogar kongruent. Daher sind die beiden braunen Dreiecke rechtwinklig gleichschenklig. Sie stimmen mit den eingeklappten blauen Dreiecken Ÿberein.
Die beiden in der Abbildung 22 eingezeichneten grŸnen Dreiecke sind zunŠchst untereinander flŠchengleich. Der Beweis geht analog zur FlŠchengleichheit der beiden gelben Dreiecke (Abb. 4).
Abb. 22: FlŠchengleiche grŸne Dreiecke
Wegen der FlŠchengleichheit von rot zu blau und der Invarianz des durch die beiden orthogonalen Diagonalen aufgespannten Viereckes sind die grŸnen Dreiecke auch flŠchengleich zu den gelben Dreiecken.
In der Figur der Abbildung 23 sind zwei weitere Diagonalen eingezeichnet.
Abb. 23: Zwei weitere Diagonalen
Diese langen Diagonalen verlaufen ebenfalls durch den Schnittpunkt der kurzen Diagonalen, schneiden diese unter Winkeln von 45¡ und sind mal so lang wie die kurzen Diagonalen. Wir zeigen dies exemplarisch fŸr diejenige lange Diagonale, welche die beiden Au§enecken der blauen Dreiecke verbindet (Abb. 24).
Abb. 24: Beweisfigur
Das kleine graue Dreieck kann auf das gro§e graue Dreieck abgebildet werden mit einer Drehstreckung um den zweiten Schnittpunkt der beiden Thaleskreise. Der Drehwinkel ist 45¡, der Streckfaktor .
Die Abbildung 25 zeigt zum Vergleich ein quadratisches Arrangement mit denselben Winkel- und LŠngenverhŠltnissen bei den Diagonalen.
Abb. 25: Quadratisches Arrangement
Bei der Abbildung 23 haben wir es mit einem schiefen Quadrat zu tun.
Wir kšnnen die Figur der Abbildung 15 zu einem Parkett erweitern (Abb. 26). Die dabei entstehenden neuen Zwischendreiecke sind grŸn markiert. Die grŸnen Zwischendreiecke sind flŠchengleich zu den gelben.
Abb. 26: Parkett
In dieser Parkettierung fallen einerseits rot-gelbe Vierecke auf und andererseits blau-grŸne Vierecke an. Die beiden Vierecktypen haben punktsymmetrische Umrisse, aber unterschiedliche Binnenunterteilungen.