Hans Walser, [20170104a]

Schiefer Pythagoras

Anregung: Max Bill: Konstruktion auf der Formel a2 + b2 = c2 (1937)

1     Parallelogramme statt Quadrate

Die Abbildung 1 zeigt eine schiefe Pythagoras-Figur.

Abb. 1: Schiefer Pythagoras

Die Abbildung 2 zeigt den Link zur schulmŠ§igen Pythagoras-Figur.

Abb. 2: Link zur bekannten Figur

Die Figur der Abbildung 1 kann zu einem Parkett ergŠnzt werden (Abb. 3). Die grŸnen rechtwinkligen Dreiecke sind Šhnlich zu den gelben. Die Parallelogramme passen auch bei den grŸnen rechtwinkligen Dreiecken zum Satz des Pythagoras.

Abb. 3: Parkett

2     Rhomben statt Quadrate

2.1    Beispiel

Die Abbildung 4 zeigt eine Situation mit Rhomben.

Abb. 4: Rhomben statt Quadrate

Es gibt auch hierzu ein Parkett (Abb. 5).

Abb. 5: Parkett

Man hat einige MŸhe, in diesem Parkett die Pythagoras-Figur zu erkennen. Dies vor allem dann, wenn das Parkett seitenparallel gezeichnet ist (Abb. 6).

Abb. 6: Andere Lage des Parketts

2.2    Zweite Lšsung

Die Abbildung 7 zeigt, dass es zum gleichen rechtwinkligen Dreieck eine zweite Lšsung gibt.

Abb. 7: Zwei Lšsungen

In der einen Lšsung erscheint der eine der beiden spitzen Winkel des rechtwinkligen Dreiecks als spitzer Rhomben-Winkel, in der anderen Lšsung entsprechend der zweite der beiden spitzen Winkel.

Umgekehrt kann zu jedem Rhombus, mit Ausnahme des Quadrates, ein rechtwinkliges Dreieck gefunden werden, so dass der Rhombus (in drei verschiedenen Grš§en) zusammen mit dem Dreieck in ein Parkett obiger Art passt.

2.3    SonderfŠlle

In der Abbildung 8 wurde ein rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck als Ausgangsfigur gewŠhlt. Aus SymmetriegrŸnden gibt es in diesem Sonderfall nur eine Lšsung.

Die blauen Rhomben sind in diesem Sonderfall alle gleich gro§.

Wir unterliegen aber einer optischen TŠuschung, indem wir die waagerechten blauen Rhomben grš§er sehen als die senkrechten. Die optische TŠuschung kommt daher, dass die senkrechten Rhomben neben den um einiges grš§eren roten Rhomben stehen und daher klein erscheinen.

Abb. 8: Rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck

Die Abbildung 9 zeigt die beiden Lšsungen fŸr das 30¡-60¡-90¡-Dreieck.

Abb. 9: 30¡-60¡-90¡-Dreieck

In der zweiten Lšsung kšnnen die gro§en Rhomben zerlegt werden (Abb. 10).

Abb. 10: Nur zwei Sorten Rhomben

Die Rhomben kšnnen auch in gleichseitige Dreiecke aufgelšst werden (Abb. 11).

Abb. 11: Gleichseitige Dreiecke statt Rhomben