Hans Walser, [20170104a]
Schiefer Pythagoras
Anregung: Max Bill: Konstruktion auf der Formel a2 + b2 = c2 (1937)
1 Parallelogramme statt Quadrate
Die Abbildung 1 zeigt eine schiefe Pythagoras-Figur.
Abb. 1: Schiefer Pythagoras
Die Abbildung 2 zeigt den Link zur schulmŠ§igen Pythagoras-Figur.
Abb. 2: Link zur bekannten Figur
Die Figur der Abbildung 1 kann zu einem Parkett ergŠnzt werden (Abb. 3). Die grŸnen rechtwinkligen Dreiecke sind Šhnlich zu den gelben. Die Parallelogramme passen auch bei den grŸnen rechtwinkligen Dreiecken zum Satz des Pythagoras.
Abb. 3: Parkett
2 Rhomben statt Quadrate
2.1 Beispiel
Die Abbildung 4 zeigt eine Situation mit Rhomben.
Abb. 4: Rhomben statt Quadrate
Es gibt auch hierzu ein Parkett (Abb. 5).
Abb. 5: Parkett
Man hat einige MŸhe, in diesem Parkett die Pythagoras-Figur zu erkennen. Dies vor allem dann, wenn das Parkett seitenparallel gezeichnet ist (Abb. 6).
Abb. 6: Andere Lage des Parketts
2.2 Zweite Lšsung
Die Abbildung 7 zeigt, dass es zum gleichen rechtwinkligen Dreieck eine zweite Lšsung gibt.
Abb. 7: Zwei Lšsungen
In der einen Lšsung erscheint der eine der beiden spitzen Winkel des rechtwinkligen Dreiecks als spitzer Rhomben-Winkel, in der anderen Lšsung entsprechend der zweite der beiden spitzen Winkel.
Umgekehrt kann zu jedem Rhombus, mit Ausnahme des Quadrates, ein rechtwinkliges Dreieck gefunden werden, so dass der Rhombus (in drei verschiedenen Grš§en) zusammen mit dem Dreieck in ein Parkett obiger Art passt.
2.3 SonderfŠlle
In der Abbildung 8 wurde ein rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck als Ausgangsfigur gewŠhlt. Aus SymmetriegrŸnden gibt es in diesem Sonderfall nur eine Lšsung.
Die blauen Rhomben sind in diesem Sonderfall alle gleich gro§.
Wir unterliegen aber einer optischen TŠuschung, indem wir die waagerechten blauen Rhomben grš§er sehen als die senkrechten. Die optische TŠuschung kommt daher, dass die senkrechten Rhomben neben den um einiges grš§eren roten Rhomben stehen und daher klein erscheinen.
Abb. 8: Rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck
Die Abbildung 9 zeigt die beiden Lšsungen fŸr das 30¡-60¡-90¡-Dreieck.
Abb. 9: 30¡-60¡-90¡-Dreieck
In der zweiten Lšsung kšnnen die gro§en Rhomben zerlegt werden (Abb. 10).
Abb. 10: Nur zwei Sorten Rhomben
Die Rhomben kšnnen auch in gleichseitige Dreiecke aufgelšst werden (Abb. 11).
Abb. 11: Gleichseitige Dreiecke statt Rhomben