Hans Walser, [20250834]

Schließungsfigur mit Kreisen

Anfrage: R. G.

1 Worum es geht

Schließungsfigur mit vier Kreisen im Kontext von zwei gegebenen Kreisen

Kegelschnitte: Ellipsen und Hyperbeln

Tangentenviereck

Portenzgerade

2 Start mit zwei Kreisen

Wir beginnen mit zwei Kreisen, welche sich schneiden (Abb. 1).

Abb. 1: Zwei sich schneidende Kreise

3 Berührkreise

Wir fragen nun nach einem Kreis, welcher die beiden gegebenen Kreise berührt.

Die Abbildung 2 zeigt einen roten Kreis, welcher den einen der beiden gegebenen schwarzen Kreise von außen und den anderen von innen berührt.

Abb. 2: Berührender Kreis

Der rote Kreis kann variiert werden (Abb. 3). Der Mittelpunkt des roten Kreises bewegt sich dabei auf einer Ellipse. Diese hat die Mittelpunkte der beiden gegebenen schwarzen Kreise als Brennpunkte und verläuft durch die Schnittpunkte der beiden Kreise.

Abb. 3: Variation des roten Kreises

Für den Beweis bezeichnen wir die Radien der beiden gegebenen schwarzen Kreise mit r₁ und r₂ und den Radius des roten Kreises mit r. Der Mittelpunkt des roten Kreises hat vom einem der beiden Mittelpunkte der schwarzen Kreise den Abstand r₁ + r und vom anderen den Abstand r₂ – r (Abb. 4). Die Summe der beiden Abstände ist (r₁ + r) + (r₂ – r) = r₁ + r₂ . Der Radius r des roten Kreises fällt heraus. Die Abstandssumme ist konstant. Der Mittelpunkt des roten Kreises beschreibt also gemäß der Gärtnerkonstruktion eine Ellipse mit den Brennpunkten in den Mittelpunkten der beiden gegebenen schwarzen Kreise.

Abb. 4: Beweisfigur

Die Abbildung 5 zeigt einen goldenen Kreis, welcher beide schwarzen Kreise von innen berührt.

Abb. 5: Berührung von innen

Bei der Variation dieses Kreises bewegt sich sein Mittelpunkt auf einer Hyperbel (Abb. 6). Diese hat die Mittelpunkte der beiden schwarzen Kreise als Brennpunkte und verläuft durch die Schnittpunkte der beiden schwarzen Kreise.

Für den Beweis wird die Abstandseigenschaft der Hyperbel verwendet. Die Differenz der Abstände zu den Brennpunkten ist betragsmäßig konstant.

Abb. 6: Variation des goldenen Kreises

Der goldene Kreis berührt zunächst beide schwarzen Kreise von innen. Anschließend werden beide schwarzen Kreise von außen berührt. Und dann werden die beiden schwarzen Kreise umschließend von außen berührt. Der Mittelpunkt des goldenen Kreises befindet sich nun auf dem zweiten Hyperbelast.

4 Schließungsfigur

Wir beginnen mit einem roten Kreis gemäß Abbildung 7.1. Der rote Kreis berührt den ersten schwarzen Kreis von außen und den zweiten von innen.

Abb. 7.1: Beginn mit einem roten Kreis

Nun zeichnen wir einen goldenen Kreis, der den roten berührt (Abb. 7.2). Der goldene Kreis berührt beide schwarzen Kreise von innen.

Abb. 7.2: Goldener Kreis

Anschließend zeichnen wir einen violetten Kreis, welcher den goldenen berührt (Abb. 7.3). Der violette Kreis berührt den ersten schwarzen Kreis von innen und den zweiten von außen.

Abb. 7.3: Violetter Kreis

Schließlich zeichnen wir einen grünen Kreis, welcher den violetten Kreis berührt und die beiden schwarzen Kreise von außen (Abb. 7.4).

Abb. 7.4: Grüner Kreis

Nun ist es so, dass der grüne Kreis auch den roten berührt. Wir haben eine Schließungsfigur.

Der Beweis kann über eine Kreisspiegelung erfolgen, bei der die beiden schwarzen Kreise in sich schneidende Geraden übergeführt werden.

Die Abbildung 8 zeigt die Schließungsfigur in Bewegung. Die Mittelpunkte des roten und des violetten Kreises laufen auf der Ellipse, die Mittelpunkte des goldenen und des grünen Kreises auf der Hyperbel.

Abb. 8: Schließungsfigur

5 Tangentenviereck

Die Mittelpunkte der vier Kreise der Schließungsfigur sind die Eckpunkte eines Tangentenvierecks (Abb. 9). Alle vier Seitengeraden berühren denselben Kreis. Der Kreis kann auch außerhalb des Viereckes liegen.

Abb. 9 Tangentenviereck

Der Mittelpunkt dieses Kreises bewegt sich auf der Geraden durch die beiden Schnittpunkte der beiden gegebenen schwarzen Kreise (Abb. 10). Das ist die Potenzgerade dieser beiden Kreise.

Abb. 10: Potenzgerade