Hans Walser, [20260630]
Schließungsfigur mit Vielecken
1 Vorgehen
An einem Eckpunkt tragen wir sukzessiv kongruente regelmäßige Vielecke mit n Eckpunkten ab, bis ein Vieleck das Startvieleck berührt.
2 Beispiele
2.1 Gleichseitige Dreiecke
Mit gleichseitigen Dreiecken kommen wir nach sechs Schritten zur Schließungsfigur (Abb. 1). Die Anzahl der Schritte bis zur Schließungsfigur bezeichnen wir mit m.
Abb. 1: Gleichseitige Dreiecke
Beim Schließungsprozess gehen wir einmal um das Zentrum herum. Die Umlaufzahl ist 1. Die Umlaufzahl lässt sich am besten abzählen durch Verbinden der Mittelpunkte aufeinanderfolgender Vielecke. Es entsteht jeweils ein Stern mit m Spitzen.
2.2 Quadrate
Mit Quadraten kommen wir bereits nach vier Schritten zur Schließungsfigur (Abb. 2). Die Umlaufzahl ist 1.
Abb. 2: Quadrate
2.3 Fünfecke
Bei regelmäßigen Fünfecken ergeben sich Überlappungen. Daher musste die Farbe transparent gewählt werden (Abb. 3). Wir benötigen zehn Fünfecke bis zur Schließungsfigur. Die Umlaufzahl ist 3.
Abb. 3: Fünfecke
Die zweidimensionale Figur (Abb. 3) kann interpretiert werden als Sicht von oben auf das Rhombenikosaeder (Abb. 4).
Abb. 4: Rhombenikosaeder. Sicht von oben
Ebenso kann die zweidimensionale Figur (Abb. 3) interpretiert werden als Sicht von oben auf das Rhombentriakontaeder (Abb. 5).
Abb. 5: Rhombentriakontaeder. Sicht von oben
2.4 Sechsecke
Mit regelmäßigen Sechsecken kommen wir sogar nach drei Schritten zur Schließungsfigur (Abb. 6). Wir haben keine Überlappungen. Die Umlaufzahl ist 1.
Abb. 6: Sechsecke
2.5 Siebenecke
Bei regelmäßigen Siebenecken ergeben sich wieder Überlappungen. Wir benötigen m = 14 Siebenecke bis zur Schließungsfigur (Abb. 7). Die Umlaufzahl ist 5.
Abb. 7: Siebenecke
2.6 Achtecke
Bei regelmäßigen Achtecken benötigen wir acht Schritte (Abb. 8). Die Umlaufzahl ist 3.
Abb. 8: Achtecke
Die Schließungsfigur besteht, planimetrisch betrachtet, aus 24 Rhomben gleicher Kantenlängen.
2.7 Neunecke
Bei regelmäßigen Neunecken benötigen wir m = 18 Schritte (Abb. 9). Die Umlaufzahl ist 7.
Abb. 9: Neunecke
2.8 Zehnecke
Bei regelmäßigen Zehnecken benötigen wir nur fünf Schritte (Abb. 10). Die Umlaufzahl ist 2.
Abb. 10: Zehnecke
2.9 Elfecke
Bei regelmäßigen Elfecken benötigen wir m = 22 Schritte (Abb. 11). Die Umlaufzahl ist 9.
Abb. 11: Elfecke
2.10 Zwölfecke
Bei regelmäßigen Zwölfecken benötigen wir 12 Schritte (Abb. 12). Die Umlaufzahl ist 5.
Abb. 12: Zwölfecke
Die Schließungsfigur besteht, planimetrisch betrachtet, aus 60 Rhomben gleicher Kantenlängen.
2.11 13-Ecke
Bei regelmäßigen 13-Ecken benötigen wir 26 Schritte (Abb. 13). Die Umlaufzahl ist 11.
Abb. 13: 13-Ecke
2.12 14-Ecke
Bei regelmäßigen 14-Ecken benötigen wir nur 7 Schritte (Abb. 14). Die Umlaufzahl ist 3.
Abb. 14: 14-Ecke
2.13 15-Ecke
Bei regelmäßigen 15-Ecken benötigen wir 30 Schritte (Abb. 15). Die Umlaufzahl ist 13.
Abb. 15: 15-Ecke
2.14 16-Ecke
Bei regelmäßigen 16-Ecken benötigen wir 16 Schritte (Abb. 16). Die Umlaufzahl ist 7.
Abb. 16: 16-Ecke
Die Schließungsfigur besteht, planimetrisch betrachtet, aus 112 Rhomben gleicher Kantenlängen.
2.15 17-Ecke
Bei regelmäßigen 17-Ecken benötigen wir 34 Schritte (Abb. 17). Die Umlaufzahl ist 15.
Abb. 17: 17-Ecke
2.16 18-Ecke
Bei regelmäßigen 18-Ecken benötigen wir nur 9 Schritte (Abb. 18). Die Umlaufzahl ist 4.
Abb. 18: 18-Ecke
2.17 19-Ecke
Bei regelmäßigen 19-Ecken benötigen wir 38 Schritte (Abb. 19). Die Umlaufzahl ist 17.
Abb. 19: 19-Eck
2.18 20-Ecke
Bei regelmäßigen 20-Ecken benötigen wir 20 Schritte (Abb. 20). Die Umlaufzahl ist 9.
Abb. 20: 20-Ecke
Die Schließungsfigur besteht, planimetrisch betrachtet, aus 180 Rhomben gleicher Kantenlängen.
3 Anzahlen
Die benötigte Anzahl Schritte m und die Umlaufzahl u variieren stark (Tab. 1)
|
Eckenzahl
n |
Anzahl
Schritte m |
Umlaufzahl
u |
|
|
3 |
6 |
1 |
|
|
4 |
4 |
1 |
Figur mit vier kongruenten Quadraten |
|
5 |
10 |
3 |
|
|
6 |
3 |
1 |
|
|
7 |
14 |
5 |
|
|
8 |
8 |
3 |
Figur mit 24 Rhomben gleicher Kantenlänge |
|
9 |
18 |
7 |
|
|
10 |
5 |
2 |
|
|
11 |
22 |
9 |
|
|
12 |
12 |
5 |
Figur mit 60 Rhomben gleicher Kantenlänge |
|
13 |
26 |
11 |
|
|
14 |
7 |
3 |
|
|
15 |
30 |
13 |
|
|
16 |
16 |
7 |
Figur mit 112 Rhomben gleicher Kantenlänge |
|
17 |
34 |
15 |
|
|
18 |
9 |
4 |
|
|
19 |
38 |
17 |
|
|
20 |
20 |
9 |
Figur mit 180 Rhomben gleicher Kantenlänge |
Tab. 1: Anzahl Schritte und Umlaufzahl
Es gilt folgende Fallunterscheidung:
Die Eckenzahl n ist ungerade: Wir brauchen 2n Schritte. Die Umlaufzahl ist n – 2.
Die Eckenzahl n ist gerade:
Die Eckenzahl n ist durch 4 teilbar: Wir brauchen n Schritte. Die Umlaufzahl ist n/2 – 1. Die Figur ist eine Rhombenfigur mit n(n/2 – 1) Rhomben gleicher Kantenlänge.
Die Eckenzahl n ist nicht durch 4 teilbar: Wir brauchen nur n/2 Schritte. Die Umlaufzahl ist (n – 2)/4.