Hans Walser, [20160913]

Schnittpunkt

Anregung: Manfred Schmelzer, Regensburg

1     Worum geht es?

Mit Hilfe von zwei Geradenbźscheln kšnnen Schnittpunkte von drei Geraden gefunden werden.

2     Vorgehen

Wir zeichnen zwei Geradenbźschel von je drei Geraden (Abb. 1).

Abb. 1: Zwei Geradenbźschel

Dadurch erhalten wir insgesamt neun Schnittpunkte. Aus diesen neun Punkten wŠhlen wir drei Punkte als Eckpunkte eines Dreiecks aus, aber so, dass keine Dreiecksseite auf eine Bźschelgerade fŠllt. Die Abbildung 2 zeigt ein Beispiel. Es gibt insgesamt 3! = 6 Mšglichkeiten fźr ein solches Dreieck.

Abb. 2: Auswahl eines Dreiecks

Jede Dreiecksseite ist Diagonale in einem Bźschelgeraden-Viereck. Wir zeichnen nun zu jeder Dreiecksseite die jeweils andere Diagonale (Abb. 3). Diese drei Geraden sind kopunktal, das hei§t sie schneiden sich in einem Punkt.

Abb. 3: Schnittpunkt

Beweis folgt.

Die Abbildung 4 zeigt die sechs mšglichen Dreiecke.

Abb. 4: Die sechs Dreiecke

In der Abbildung 5 sind zusŠtzliche die jeweils drei Gegendiagonalen und deren Schnittpunkte eingezeichnet.

Die Schnittpunkte liegen zu je dreien auf einer Geraden (ohne Beweis).

Abb. 5: Die sechs Schnittpunkte

3     Beweis der Schnittpunkteigenschaft

Die Begriffe Gerade und Schnittpunkt sind projektiv invariant. Wir kšnnen daher die Konfiguration der Abbildung 3 durch eine projektive Abbildung so verŠndern, dass die Geraden des einen Bźschels horizontal und die Geraden des anderen Bźschels vertikal sind. Die Bźschelpunkte werden dabei auf unendliche ferne Punkte abgebildet.

Die Abbildung 6 zeigt die Situation in einem kartesischen Koordinatensystem.

Abb. 6: Im kartesischen Koordinatensystem

Fźr die Gegendiagonalen a, b, c erhalten wir die Geradengleichungen:

 

                                                     (1)

 

 

 

Daraus ergibt sich die Koeffizientenmatrix M:

 

                                                                  (2)

 

 

 

Es ist det(M) = 0.  Daher sind die drei Geraden a, b, c kopunktal.