Hans Walser, [20130817b]

Die schšne Kugel

1        Der Test

Welches ist die schšnste Kugel (Abb. 1)?

              

Abb. 1: Welches ist die schšnste Kugel?

In der Regel wird die mittlere Kugel als die ãschšnsteÒ angesehen.

2        Hintergrund

Die Netzlinien sind RŸckabbildungen von Quadratrastern auf der abstandstreuen Plattkarte (Marinos von Tyros), der konformen Seekarte von Mercator und der flŠchentreuen Karte von Archimedes.

2.1      Marinos von Tyros

Die Kugel links ergibt sich durch †bertragen der Netzlinien der Plattkarte auf die Kugel. Die Plattkarte wurde vom Phšnizier Marinos von Tyros zuerst beschrieben. Die Abbildung 2 zeigt die Kugel links genau von der Seite und mit Blick auf den Nordpol.

      

Abb. 2: Parametrisierung durch Plattkarte

Auf einem Meridian zum Beispiel auf dem Umriss haben wir in der SŸd-Nord-Richtung immer denselben Abstand zwischen zwei Breitenkreisen. Die Netzvierecke haben in der SŸd-Nord-Richtung alle dieselbe Hšhe, werden aber in der West-Ost-Richtung gegen die Pole zu immer schmaler.


2.2      Mercator

Die mittlere Kugel entsteht durch RŸckŸbertragung eines Quadratnetzes von der Mercator-Karte (Seekarte) auf die Kugel. Wegen der KonformitŠt der Mercator-Karte haben die Netzvierecke auf der Kugel nŠherungsweise die Form von Quadraten. Gegen die Pole zu werden sie aber immer kleiner. Gau§ sprach von einer ãAbbildung durch kleinste QuadrateÒ (das hat nichts mit der least squares Methode in der Statistik zu tun).

Die Abbildung 3 zeigt die Situation mit Sicht auf den €quator und auf den Nordpol.

      

Abb. 3: Die schšne Kugel. Formgleiche Netzvierecke

Auf der schšnen Kugel finden wir durch geeignete Diagonalen von Netzvierecken Loxodromen, also Kurven konstanten Kurses. Die Abbildung 4 zeigt links eine Loxodrome fŸr den Kurs 45¡, rechts eine Loxodrome fŸr den Kurs .

      

Abb. 4: Loxodromen


2.3      Archimedes

Die Kugel rechts entsteht durch RŸckŸbertragung eines Quadratnetzes von der flŠchentreuen Archimedes-Karte auf die Kugel. Die Netzvierecke auf der Kugel haben daher alle denselben FlŠcheninhalt.

Die Abbildung 5 zeigt die Situation von der Seite und von oben.

      

Abb. 5: FlŠchengleiche Netzvierecke

Die vertikalen AbstŠnde zwischen den Ebenen der Breitenkreise sind immer gleich gro§. Die einzelnen Zonen haben je den gleichen FlŠcheninhalt.

Wird ein kugelrundes Brot in gleich dicke Scheiben geschnitten, hat jede Brotscheibe gleich viel Kruste.