Hans Walser, [20201207]

Schwerpunkte im Viereck

1     Worum geht es?

Formeln fŸr verschiedene spezielle Punkte im Viereck, basierend auf den Eckpunktkoordinaten

2     Schreibweise in Koordinaten

P = (xP,yP)

3     Dreieck

Im Dreieck ABC sind der Eckenschwerpunkt und der FlŠchenschwerpunkt dieselben, kurz Dreieckschwerpunkt S = S(A, B, C) = (xS,yS) gehei§en. Der Kantenschwerpunkt ist anders.

Berechnung: Arithmetisches Mittel der Eckpunktkoordinaten

 

xS = 1/3 (xA + xB + xC)

 

yS = 1/3 (yA + yB + yC)

                                                                      

4     Viereck

Viereck ABCD

4.1    Eckenschwerpunkt

Berechnung: Arithmetisches Mittel der Eckpunktkoordinaten

E = E(A, B, C, D) = (xE, yE)

 

xE = ¼ (xA + xB + xC + xD)

 

yE = ¼ (yA + yB + yC + yD)

 

4.2    Diagonalenschnittpunkt

Berechnung: Schnittpunkt der Geraden AC und BD

X = X(A, B, C, D) = (xX, yX)

 

xX =   (((yCyD) xB + xD (yByC)) xA – ((yAyD) xBxD (yAyB)) xC)/((yByD) xA + (–yA + yC) xB + (–yB + yD) xC + xD (yAyC))

 

yX =   (((–xC + xD) yByD (xBxC)) yA + ((xAxD) yByD (xAxB)) yC)/((–xB + xD) yA + (xAxC) yB + (xBxD) yCyD (xAxC))

 

4.3    FlŠchenschwerpunkt

F = F(A, B, C, D) = (xF, yF)

 

Konstruktion und Berechnung: Wir unterteilen das Viereck mit der Diagonalen AC in zwei Dreiecke. Durch deren Schwerpunkte legen wir eine Gerade. Dann unterteilen wir das Viereck mit der Diagonalen BD in zwei Dreiecke. Durch deren Schwerpunkte legen wir eine zweite Gerade. Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist der FlŠchenschwerpunkt:

 

F(A, B, C, D)  = X( S(A, B, C), S(A, B, D), S(A, C, D) , S( B, C, D) )

 

xF =   ((yByD) xA2 + ((–yA + yB) xB + xD (yAyD)) xA + (–yA + yC) xB2xC (yByC) xB + (–yB + yD) xC2xD (yCyD) xC + xD2 (yAyC))/((3 yB – 3 yD) xA + (–3 yA + 3 yC) xB + (–3 yB + 3 yD) xC + 3 xD (yAyC))

 

yF =   ((–xB + xD) yA2 + ((xAxB) yByD (xAxD)) yA + (xAxC) yB2 + yC (xBxC) yB + (xBxD) yC2 + yD (xCxD) yCyD2 (xAxC))/((–3 xB + 3 xD) yA + (3 xA – 3 xC) yB + (3 xB – 3 xD) yC – 3 yD (xAxC))

 

Die Abbildung 1 zeigt ein Viereck mit dem Eckenschwerpunkt (schwarz), dem Diagonalenschnittpunkt (blau) und dem FlŠchenschwerpunkt (rot).

Abb. 1: Viereck

Die drei Punkte liegen auf einer Geraden (Seebach 1994). Der Eckenschwerpunkt teilt die Strecke vom Diagonalenschnittpunkt zum FlŠchenschwerpunkt im VerhŠltnis 3:1.

 

 

Literatur

Fritsch, Rudolf (2012): Zum FlŠchenschwerpunkt fŸr Vierecke. Der mathematische und natur-wissenschaftliche Unterricht 65, 2012, S. 464–465.

Fritsch, Rudolf und Pickert, GŸnter (2014): Schwerpunkte von Vierecken. Die Wurzel, Heft 2 / 2014, 35-41.

Kirsch, A. (1987): Bemerkungen zum Vierecksschwerpunkt. Didaktik der Mathematik, 15, 34-36.

Kratz, Johannes (1994): ãDas SchwerpunktsviereckÒ – Eine ErgŠnzung zum Beitrag von Karl Seebach Ÿber Viereckschwerpunkte. Didaktik der Mathematik 22, 1994, S. 316–317.

Pickert, GŸnter (2013): Zu: Zum FlŠchenschwerpunkt fŸr Vierecke. Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 66, 2013, Seiten 51–52.

Seebach, Karl (1983): †ber Schwerpunkte von Dreiecken, Vierecken und Tetraedern, Teil 1.  Didaktik der Mathematik 11, 1983, S. 270–282.

Seebach, Karl (1994): Nochmals: Viereckschwerpunkte. Didaktik der Mathematik 22, 1994,  S. 309–315.

Walser, Hans (2012): Schwerpunkt. Mathematikinformation, 57, 14-22. ISSN 1612-9156.

Walser, Hans (2014): FlŠchenschwerpunkte. MNU, Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht. 67. Dezember 2014, S. 466-467.

 

Website

Hans Walser: FlŠchenschwerpunkt Trapez

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Flaechenschwerpunkt_Trapez/Flaechenschwerpunkt_Trapez.htm