1 Worum geht es?

Spiel im Raum mit gleichseitigen Dreiecken im Umfeld des Satzes von Pythagoras.

2 Pythagoras mit gleichseitigen Dreiecken

Wir können in der Pythagoras-Figur die Quadrate durch gleichseitige Dreiecke ersetzen (Abb. 1a). Das Hypotenusendreieck können wir in zwei Hälften unterteilen (Abb. 1b).

Abb. 1: Rot = blau

3 Im Raum

Die Abbildung 2 zeigt die Situation „verräumlicht“. Der Thaleskreis ist horizontal gedacht, die beiden roten Dreiecke senkrecht nach oben geklappt und die beiden blauen Dreiecke nach unten. Es ist immer noch der Flächensatz rot = blau.

Die Hypotenuse zerlegen wir in zwei Radiusstrecken, die einen Winkel von 180° einschließen.

Abb. 2: Im Raum

In der Animation 1 wird der rote Punkt auf dem Thaleskreis bewegt.

Animation 1

4 Der 3-Stern

Wir ersetzen die Hypotenuse durch einen Stern aus drei Radien, welche untereinander gleiche Winkel von 120° einschließen (Abb. 3).

Abb. 3: 3-Stern

Weiter wählen wir auf dem Thaleskreis einen Punkt, den wir mit den Enden des 3-Sternes verbinden (Abb. 4). Die drei entstehenden Sehnen schließen untereinander Winkel von 60° und Vielfachen davon ein. Dies folgt aus Kreiswinkelsätzen.

Abb. 4: Sehnen

Diese drei roten Sehnen übernehmen nun die Rolle der beiden Katheten.

Nun errichten wir auf den roten Sehnen gleichseitige Dreiecke nach oben. An die blauen Radien hängen wir halbe gleichseitige Dreiecke an (Abb. 5).

Abb. 5: Rot = blau

Auch in dieser Situation gilt der Flächensatz rot = blau. Der Beweis folgt aus der entsprechenden Aussage über Sehnenquadrate.

In der Animation 2 wird der rote Punkt auf dem Thaleskreis bewegt.

Animation 2

5 Der n-Stern

5.1 Der Fünfstern

Die Abbildungen 6 und 7 zeigen einen 5-Stern mit zugehörigen Sehnen sowie den Dreiecken. Wo ist das kleinste rote Dreieck?

Abb. 6: 5-Stern

Abb. 7: Dreiecke

Wiederum gilt rot = blau.

In der Animation 3 wird der rote Punkt auf dem Thaleskreis bewegt.

Animation 3

5.2 Der 48-Stern

Die Abbildung 8 zeigt einen 48-Stern mit den Dreiecken.

Abb. 8: 48-Stern

In der Animation 4 wird der rote Punkt auf dem Thaleskreis bewegt.

Animation 4

6 Gratkurve

Zum Studium der in der Abbildung 8 erkennbaren Gratkurve arbeiten wir mit n = 48 und einem speziell gewählten roten Punkt. Zusätzlich sind die Spitzen der gleichseitigen Dreiecke mit einem gelben Punkt markiert (Abb. 9).

Abb. 9: Gratkurve

Die Abbildung 10 zeigt Grund-, Auf- und Kreuzriss der Figur. Ich vermute, dass es sich bei der Gratkurve um eine (affin verzerrte) vivianische Kurve handelt.