Hans Walser, [20080303a], [20131216b]

Sehnenviereck

1        Motivation

Diese Studie wurde angeregt durch die Frage, wie sich ein Sehnenviereck aus den vier Seiten konstruieren lŠsst.

2        Disposition

Sehnenviereck gemŠ§ Figur.

Sehnenviereck

3        Winkelbeziehungen

Aus PeripheriewinkelsŠtzen folgt

4        Vier Seiten gegeben

Wie lŠsst sich ein Sehnenviereck aus seinen vier Seiten a, b, c, d bestimmen?

Es genŸgt, wenn wir noch einen Winkel kennen.

4.1      Berechnung der Winkel

Der Kosinussatz im Dreieck ABC liefert:

Der Kosinussatz im Dreieck CDA liefert:

 

 

Wegen  ist  und daher . Durch Gleichsetzen erhalten wir:

 

 

Damit lŠsst sich der Winkel  konstruieren, sofern ; dies kann durch allfŠlliges Umbezeichnen der Daten erreicht werden.

Durch zyklische Vertauschung ergibt sich die Formelgruppe:

 

 

 

4.2      Berechnung der Diagonalen

Einsetzen von  in  liefert:

 

 

Somit ist:

 

 

Analog:

 

 

Auch diese Diagonalen lassen sich konstruieren.

5        Satz von PtolemŠus

Wir multiplizieren die beiden Diagonalen:

 

 

Das ist der Satz des PtolemŠus:

 

 

Sonderfall: In einem Rechteck ist , ,  und daher:

 

 

Der Satz von PtolemŠus enthŠlt also den Satz des Pythagoras.

6        Berechnung des FlŠcheninhaltes

Wir berechnen die FlŠcheninhalte der Dreiecke ABC und CDA separat nach der Formel ãSeite mal Seite mal Sinus des Zwischenwinkels durch 2Ò.

Aus  ergibt sich . Wegen  ist . Damit erhalten wir fŸr den FlŠcheninhalt des Sehnenviereckes:

 

 

Der Radikand ist scheinbar nicht symmetrisch in a, b, c, d; durch Expandieren erhalten wir aber:

 

 

 

Mit  kann dieser Term umgeschrieben werden zu:

 

 

 

Damit erhalten wir:

 

 

Dies ist die Formel von Brahmagupta (598-668). Als Sonderfall erhalten wir daraus die Heronsche Formel: Jedes Dreieck kann als Sehnenviereck mit  gesehen werden. Damit ist:

 

 

7        Vier kozyklische Punkte

Wie kann geprŸft werden, ob vier durch Koordinaten gegebene Punkte auf einem Kreis liegen, also die Ecken eines Sehnenviereckes sind?

7.1      Zyklische Reihenfolge

Wir nehmen an, die vier Punkte A, B, C, D liegen in zyklischer Reihenfolge auf dem Kreis. Wir interpretieren die vier Punkte als komplexe Zahlen und bilden die komplexen Seiten:

 

 

Dann ist:

 

 

Damit wird:

 

 

Das Produkt ist also reell und negativ.

Beispiel: , , ,

Beispiel

Wir erhalten: , , ,  und weiter:

 

 

7.2      Nicht zyklische Reihenfolge

Beispiel: Es sei B zwischen A und D und C zwischen D und A.

ã†berschlagenes SehnenviereckÒ


Aus PeripheriewinkelsŠtzen folgt . Damit erhalten wir:

 

 

 

Das Produkt ist reell und positiv.

Beispiel: , , , . Damit wird: , , ,  und weiter:

 

 

Wenn umgekehrt D nicht auf dem Umkreis des Dreieckes ABC liegt, stimmen obige Relationen nicht.

Vier Punkte A, B, C, D sind genau dann kozyklisch, wenn . Als Sonderfall kšnnen die vier Punkte auf einer Geraden liegen.