Hans Walser, [20170101]

SemiregulŠres Ikosaeder

1     Worum geht es?

Modifikation des regulŠren Ikosaeders unter Erhaltung der Topologie.

2     RegulŠres Ikosaeder

Die Abbildung 1 zeigt ein regulŠres Ikosaeder.

Abb. 1: RegulŠres Ikosaeder

Die Abbildung 2 zeigt das zugehšrige Schlegel-Diagramm, welches die topologischen VerhŠltnisse wiedergibt.

Abb. 2: Schlegel-Diagramm

3     SemiregulŠres Ikosaeder

Wir modifizieren die Figur der Abbildung 1 gemŠ§ Abbildung 3. Zwei benachbarte rote gleichseitige Dreiecke mit einer nach au§en gerichteten gemeinsamen Kante ersetzen wir durch zwei benachbarte blaue Dreiecke mit einer nach innen gerichteten gemeinsamen Kante. Die blauen Dreiecke sind nicht mehr gleichseitig. Sie sind gleichschenklig mit einem Spitzenwinkel von 108¡. Bei der SchenkellŠnge 1 haben sie die BasislŠnge  mit:

 

                                                                                                           (1)

 

Dies ist der Goldene Schnitt (Walser 2014, S. 16).

Abb. 3: SemiregulŠres Ikosaeder

Die Abbildung 4 zeigt eine Frontalansicht des semiregulŠren Ikosaeders.

Abb. 4: Frontalansicht

Die neuen langen nach innen gerichteten Kanten sind windschief, aber orthogonal zu den weggelassenen nach au§en gerichteten Kanten zwischen den roten Dreiecken. Wir haben also gekreuzte Kanten.

Im Schlegel-Diagramm zeigt sich das gemŠ§ Abbildung 5. Die neuen langen nach innen gerichteten Kanten sind zunŠchst ins alte Schlegeldiagramm (Abb. 2) blau eingezeichnet. Da das Schlegel-Diagramm nur topologische, aber keine metrische VerhŠltnisse wiedergibt, ist die OrthogonalitŠt der neuen mit den alten Kanten nicht sichtbar.

Abb. 5: Neue blaue Kanten

Die Abbildung 6 zeigt das Schlegel-Diagramm des semiregulŠren Ikosaeders.

Abb. 6: Schlegel-Diagramm des semiregulŠren Ikosaeders

Das Kantenbild unterscheidet sich vom Kantenbild des Schlegel-Diagramms des regulŠren Ikosaeders (Abb. 2). Allerdings ist die Topologie dieselbe. Wir haben gleich viele Knoten, Kanten und Dreiecke. Auch treffen in jedem Knoten fŸnf Kanten ein.

Wir kšnnen die Figur unter Erhaltung der Topologie umzeichnen (Abb. 7).

Abb. 7: Schlegel-Diagramm des semiregulŠren Ikosaeders

Nun sehen wir, bis auf die Farbe, keinen Unterschied mehr zum Schlegel-Diagramm des regulŠren Ikosaeders (Abb. 2).

 

Literatur

Walser, Hans (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing Ÿber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig. ISBN 978-3-937219-85-1.