Hans Walser, [20170117]
Skalarprodukt
Anregung: M. Sch.
1 Worum geht es?
Das Skalarprodukt zweier Vektoren kann auf zwei Arten als RechteckflŠche dargestellt werden. Es werden zwei Zerlegungen dazu gezeigt.
2 Rechtecke
Das Skalarprodukt zweier Vektoren, die einen spitzen Winkel einschlie§en, kann auf zwei Arten als RechteckflŠche dargestellt werden (Abb. 1). Die beiden Rechtecke sind natŸrlich flŠchengleich.
Abb. 1: FlŠchengleiche Rechtecke
3 Zerlegungsbeweis mit Drehungen um 90¡
Die Abbildung 2 zeigt einen Zerlegungsbeweis mit drei Teilen. Entsprechende Teile gehen durch eine Drehung um 90¡ auseinander hervor.
Abb. 2: Drehungen um 90¡
4 Zerlegungsbeweis mit Translationen
Im Zerlegungsbeweis der Abbildung 3 gehen entsprechende Teile durch Translationen auseinander hervor.
Abb. 3: Translationen
5 Im Dreieck
Wir setzen einem beliebigen spitzwinkligen Dreieck Quadrate an und zeichnen die drei Hšhen und ihre VerlŠngerungen. Dann haben wir fŸr jeden Winkel die Situation der Abbildung 1 (Abb. 4). Rechtecke gleicher Farbe haben gleiche FlŠcheninhalte.
Abb. 4: Im Dreieck
Wir kšnnen wiederum mit Zerlegungsbeweisen arbeiten.
6 Zerlegungsbeweis mit Drehungen um 90¡
Abb. 5: Drehungen um 90¡
Wer ein scharfes Auge hat, erkennt ein kleines rotes Dreieck und seinen Partner sowie ein noch kleineres schwarzes Dreieck mit Partner.
7 Zerlegungsbeweis mit Translationen
Abb. 6: Translationen
Es gibt noch weitere Lšsungen mit ausschlie§lich Translationen.