Hans Walser, [20171002]
Spezielle Ellipsen
Konjugierte Ellipsen, bei denen die Brennpunkte der einen Ellipse jeweils auf der andren Ellipse liegen, vgl. [1].
Gesucht ist das AchsenverhŠltnis der Ellipsen der Abbildung 1. Die Brennpunkte jeder Ellipse liegen jeweils auf der anderen Ellipse.
Abb. 1: Spezielle Ellipsen
Das AchsenverhŠltnis ist .
Gesucht sind drei kongruente Ellipsen, deren Brennpunkte jeweils auf den beiden anderen Ellipsen liegen. Gesucht sind die Achsen a und b der Ellipsen.
Abb. 2: Drei Ellipsen
Das Zentrum und die sechs Brennpunkte bilden ein regulŠres Dreiecksraster, dessen SeitenlŠnge wir 1 setzen.
Damit ist:
(1)
Der Punkt mit den Koordinaten liegt auf der Ellipse mit der Gleichung:
(2)
Es ist also:
(3)
Aus (1) und (3) ergibt sich eine biquadratische Gleichung fŸr a. Die positiven reellen Lšsungen sind:
und (4)
FŸr das AchsenverhŠltnis ergibt sich:
(5)
Gesucht sind vier kongruente Ellipsen, deren Brennpunkte jeweils auf den beiden benachbarten Ellipsen liegen (Abb. 3).
Abb. 3: Vier Ellipsen
Man beachte, dass zum Beispiel die Brennpunkte der roten Ellipse (Abb. 3b) nicht auf der grŸnen Ellipse liegen. Rot und grŸn sind also nicht konjugiert.
FŸr die Berechnung von a und b setzen wir die halbe Brennpunktweite c = 1. Damit gilt wieder die Gleichung (1). Die Ellipse mit der Gleichung (2) verlŠuft durch den Punkt mit den Koordinaten . Somit erhalten wir die Bedingung:
(6)
Die Gleichungen (1) und (6) ergeben eine biquadratische Gleichung fŸr a mit den positiven reellen Lšsungen:
(7)
Gesucht sind n ³ 2 kongruente Ellipsen, deren Brennpunkte jeweils auf den beiden benachbarten Ellipsen liegen. Die Abbildung 4 zeigt die Situation fŸr n = 12.
Abb. 4: Zwšlf Ellipsen
FŸr die Berechnung von a und b setzen wir die halbe Brennpunktweite c = 1. Damit gilt wieder die Gleichung (1). Die Ellipse mit der Gleichung (2) verlŠuft durch den Punkt mit den Koordinaten . Somit erhalten wir die Bedingung:
(8)
Die Tabelle 1 gibt die positiven reellen Lšsungen in AbhŠngigkeit von n.
n |
a |
b |
2 |
1.414213562 |
1 |
3 |
1.366025404 |
0.9306048592 |
4 |
1.306562965 |
0.8408964155 |
5 |
1.260073511 |
0.7666715415 |
6 |
1.224744872 |
0.7071067810 |
7 |
1.197448846 |
0.6586985192 |
8 |
1.175875602 |
0.6186141224 |
9 |
1.158455931 |
0.5848248826 |
10 |
1.144122805 |
0.5558929702 |
11 |
1.132136280 |
0.5307848499 |
12 |
1.121971054 |
0.5087426116 |
Tab. 1: Numerische Werte
Websites
[1] Konjugierte Kegelschnitte (abgerufen 01.10.2017):
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Konjugierte_Kegelschnitte/Konjugierte_Kegelschnitte.htm