Hans Walser, [20171002]

Spezielle Ellipsen

1     Worum geht es?

Konjugierte Ellipsen, bei denen die Brennpunkte der einen Ellipse jeweils auf der andren Ellipse liegen, vgl. [1].

2     Zwei Ellipsen

Gesucht ist das AchsenverhŠltnis der Ellipsen der Abbildung 1. Die Brennpunkte jeder Ellipse liegen jeweils auf der anderen Ellipse.

Abb. 1: Spezielle Ellipsen

Das AchsenverhŠltnis ist .

3     Drei Ellipsen

Gesucht sind drei kongruente Ellipsen, deren Brennpunkte jeweils auf den beiden anderen Ellipsen liegen. Gesucht sind die Achsen a und b der Ellipsen.

Abb. 2: Drei Ellipsen

Das Zentrum und die sechs Brennpunkte bilden ein regulŠres Dreiecksraster, dessen SeitenlŠnge wir 1 setzen.

Damit ist:

 

                                                                                                                       (1)

 

 

Der Punkt mit den Koordinaten  liegt auf der Ellipse mit der Gleichung:

 

                                                                                                                       (2)

 

 

Es ist also:

 

                                                                                                                       (3)

 

 

Aus (1) und (3) ergibt sich eine biquadratische Gleichung fŸr a. Die positiven reellen Lšsungen sind:

 

                                      und                                 (4)

 

 

FŸr das AchsenverhŠltnis ergibt sich:

 

                                                                                                     (5)

 

 

4     Vier Ellipsen

Gesucht sind vier kongruente Ellipsen, deren Brennpunkte jeweils auf den beiden benachbarten Ellipsen liegen (Abb. 3).

Abb. 3: Vier Ellipsen

Man beachte, dass zum Beispiel die Brennpunkte der roten Ellipse (Abb. 3b) nicht auf der grŸnen Ellipse liegen. Rot und grŸn sind also nicht konjugiert.

FŸr die Berechnung von a und b setzen wir die halbe Brennpunktweite c = 1. Damit gilt wieder die Gleichung (1). Die Ellipse mit der Gleichung (2) verlŠuft durch den Punkt mit den Koordinaten . Somit erhalten wir die Bedingung:

 

                                                                                         (6)

 

 

Die Gleichungen (1) und (6) ergeben eine biquadratische Gleichung fŸr a mit den positiven reellen Lšsungen:

 

                                                                         (7)

 

 

5     Allgemein

Gesucht sind n ³ 2 kongruente Ellipsen, deren Brennpunkte jeweils auf den beiden benachbarten Ellipsen liegen. Die Abbildung 4 zeigt die Situation fŸr n = 12.

Abb. 4: Zwšlf Ellipsen

FŸr die Berechnung von a und b setzen wir die halbe Brennpunktweite c = 1. Damit gilt wieder die Gleichung (1). Die Ellipse mit der Gleichung (2) verlŠuft durch den Punkt mit den Koordinaten . Somit erhalten wir die Bedingung:

 

                                                                                                         (8)

 

 

 

Die Tabelle 1 gibt die positiven reellen Lšsungen in AbhŠngigkeit von n.

 

n

a

b

2

1.414213562

1

3

1.366025404

0.9306048592

4

1.306562965

0.8408964155

5

1.260073511

0.7666715415

6

1.224744872

0.7071067810

7

1.197448846

0.6586985192

8

1.175875602

0.6186141224

9

1.158455931

0.5848248826

10

1.144122805

0.5558929702

11

1.132136280

0.5307848499

12

1.121971054

0.5087426116

Tab. 1: Numerische Werte

Websites

[1] Konjugierte Kegelschnitte (abgerufen 01.10.2017):

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Konjugierte_Kegelschnitte/Konjugierte_Kegelschnitte.htm