Hans Walser, [20240506]
Spezielle pythagoreische Dreiecke
1 Worum es geht
Pythagoreische Dreiecke, deren Hypotenuse um 1 länger ist als die längere Kathete.
2 Beispiele
Bei den bekanntesten pythagoreischen Dreiecken mit den Seitenlängen 3, 4, 5 (ägyptisches Dreieck) und 5, 12, 13 (indisches Dreieck) ist die Hypotenuse um 1 länger als die längere Kathete.
3 Problemstellung
Gesucht sind alle pythagoreischen Dreiecke mit c = b + 1 (in der üblichen Notation).
4 Bearbeitung
Aus der übliche Parametrisierung der pythagoreischen Dreiecke
a = u2 – v2
b = 2uv
c = u2 + v2
liefert die Bedingung c = b + 1:
u2 + v2 = 2uv + 1
u2 – 2uv + v2 = 1
(u – v)2
= 1
u – v = ±1
Wegen u > v kommt nur +1 in Frage. Somit ist:
v = u – 1
Die Tabelle 1 gibt die ersten Werte. Die Tabelle ist überschaubar.
|
u |
v |
a |
b |
c |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
2 |
1 |
3 |
4 |
5 |
|
3 |
2 |
5 |
12 |
13 |
|
4 |
3 |
7 |
24 |
25 |
|
5 |
4 |
9 |
40 |
41 |
|
6 |
5 |
11 |
60 |
61 |
|
7 |
6 |
13 |
84 |
85 |
|
8 |
7 |
15 |
112 |
113 |
|
9 |
8 |
17 |
144 |
145 |
|
10 |
9 |
19 |
180 |
181 |
Tab. 1: Erste Beispiele
5 Visualisierungen
Die Abbildung 1 zeigt die ersten 10 Dreiecke. Die Spitzen liegen auf einer quadratischen Parabel. In jeder Spitze ist die Winkelhalbierende des betreffenden Dreiecks tangential an diese Parabel. Die Parabel hat ihren Brennpunkt in der gemeinsamen Ecke der Dreiecke links unten.
Abb. 1: Die ersten 10 Dreiecke
Die Abbildung 2 zeigt die ersten 50 Beispiele, wobei die Hypotenusen auf gleiche Länge normiert sind. Die Spitzen bewegen sich daher auf einem Viertelkreis.
Abb. 2: Normierte Hypotenusen