1 Worum geht es?

Die Kugel hat in Grund-, Auf- und Seitenriss einen Kreis als Kontur.

Die Umkehrung gilt nicht. Es wird ein Gegenbeispiel gegeben, also ein Körper, der keine Kugel ist, aber in Grund-, Auf- und Seitenriss je einen Kreis als Kontur hat.

2 Das Sphäroid

Das Sphäroid (Abb. 1 und 2) ist der Durchschnitt von drei Kreiszylindern mit gleichen Radien und paarweise orthogonalen Achsen. Wir arbeiten im Folgenden mit dem Radius 1.

Abb. 1: Sphäroid

Der gelbe Zylinder hat die x-Achse als Zylinderachse, der rote Zylinder die y-Achse und der blaue Zylinder die z-Achse. Die einzelnen Oberflächen sind abwickelbar (Abb. 8 und 9).

Abb. 2: Sphäroid

3 Risse

Die Abbildung 3 zeigt Grund-, Auf- und Seitenriss. Es fällt schwer, zu glauben, dass das keine Kugel sein soll.

Abb. 3: Risse

4 Andere Sichten

Eine schräge Sicht (Abb. 4) macht aber deutlich, dass das keine Kugel ist. Man beachte die scheinbar verkürzten Skalierungen auf der x- und der y-Achse. Sie ergeben sich durch die schräge Sicht, Sehrichtung horizontal und mit einem Winkel 45° zur x-Achse. .

Abb. 4: Schräge Sicht

Die Figur, als zweidimensionales Bild gesehen, passt in ein Quadrat und hat einen Inkreis (Abb. 5).

Abb. 5: Quadrat und Inkreis

5 Inkugel

In der Abbildung 6 fehlen die vier obersten gekrümmten Dreiecke, dafür ist die Inkugel eingezeichnet. Wir sehen Zwischenräume zwischen der Inkugel und dem Sphäroid.

Abb. 6: Inkugel

Im Aufriss (Abb. 7) haben das Sphäroid und die Inkugel dieselbe Kontur.

Abb. 7: Aufriss

6 Würfel

Das Sphäroid enthält auf seiner Oberfläche die Kanten eines Würfels (Abb. 8). Die Inkugel des Sphäroides berührt diese Kanten in der Mitte. Die Inkugel ist die sogenannte Kantenmittenkugel des Würfels. Der Würfel hat die Kantenlänge .

Abb. 8: Würfelkanten auf dem Sphäroid

7 Volumen und Oberfläche

7.1 Kreuzgewölbe

Wir können umgekehrt den in der Abbildung 8 weggeschnittenen Teil als Kreuzgewölbe dem Würfel aufsetzen (Abb. 9).

Abb. 9: Kreuzgewölbe

Die Niveaulinien des Kreuzgewölbes sind Quadrate. Auf der vom Würfelmittelpunt aus gemessenen Höhe h haben diese Quadrate die Seitenlänge . Dabei läuft h von bis 1. Für das Volumen des Kreuzgewölbes ergibt sich damit: