Hans Walser, [20070326a]

1        Im Dreieck: Spiralen zum Schwerpunkt

In einem Dreieck werden die drei Seiten zyklisch im gleichen VerhŠltnis unterteilt. Die drei Teilpunkte bilden ein neues Dreieck, mit dem ebenso verfahren wird. Und so weiter.

Die Figur zeigt ein Ausgangsdreieck und den ersten und den zweiten Schritt bei einem TeilverhŠltnis von .

 

Schritte eins und zwei

 

Im folgenden Bild sind die ersten 50 Schritte eingezeichnet. ZusŠtzlich ist blau der Schwerpunkt des Ausgangsdreieckes markiert.

 

50 Schritte, Schwerpunkt

 

Wir vermuten: Die drei ãSpiralenÒ (in Wirklichkeit Polygone) streben zum Schwerpunkt.  Wie lŠsst sich das beweisen?

1.1      Beweis

FŸr das regulŠre Dreieck ist die Aussage aus SymmetriegrŸnden klar. Der †bergang von einem Dreieck zum nŠchsten kann durch eine Drehstreckung mit Zentrum im Ursprung beschreiben werden. Die Spiralen sind daher logarithmische Spiralen.

 

RegulŠres Dreieck

 

Wir kšnnen nun das regulŠre Dreieck affin auf ein allgemeines Dreieck abbilden. Die TeilverhŠltnisse bleiben dabei erhalten. Da unsere Spiralen wie auch der Schwerpunkt mit TeilverhŠltnissen definiert sind, bleibt die Eigenschaft erhalten, dass die Spiralen in den Schwerpunkt einmŸnden. Allerdings sind die affin verzerrten logarithmischen Spiralen im allgemeinen keine logarithmische Spiralen mehr.

1.2      Gemeinsamer Schwerpunkt

Im affin verzerrten Fall sind die Dreiecke nicht mehr Šhnlich. Hingegen haben alle Dreiecke denselben Schwerpunkt:

Es sei  der Schwerpunkt im Dreieck .

Es ist also:

 

Die Ecken des nachfolgenden Dreieckes erhalten wir mit dem Faktor  durch:

 

 

 

FŸr den Schwerpunkt  ergibt sich:

 

 

 

 

Der Schwerpunkt ist also invariant.

1.3      Verallgemeinerung

Ein n-Eck mit  kann im allgemeinen nicht affin auf ein anderes n-Eck mit  abgebildet werden. Unser Beweis ist in diesem Fall nicht anwendbar.

Hingegen ist die †berlegung mit dem gemeinsamen Schwerpunkt auf ein n-Eck mit  verallgemeinerungsfŠhig.

Die Sache mit den Spiralen scheint auch fŸr  zu stimmen.

 

Viereck

 

Mehr noch: die ãkleinenÒ Vierecke scheinen sich je einem Parallelogramm anzunŠhern. Wir sehen das, wenn wir in der Mitte ein Loch offen lassen.

 

Parallelogramm in der Mitte?

 

So Ÿberraschend ist das nicht. Wenn wir in einem beliebigen Ausgangsviereck die Seitenmitten verbinden, erhalten wir auf Anhieb ein Parallelogramm.

Ein Parallelogramm ist nun aber ein affin verzerrtes Quadrat. Damit kšnnten wir, wenn die Sache mit dem Parallelogramm wirklich stimmt, wohl mit der †berlegung der affinen Verzerrung eines Quadrates arbeiten.

Auch beim Sechseck ergibt sich in der Mitte ein annŠhernd affin-regulŠres Sechseck.

 

Affin-regulŠres Sechseck in der Mitte?