1 Worum geht es?

Beispiel einer Steiner-Kette.

2 Die Beispiele

Abb. 1: Drei rote Kreise

Abb. 2: Vier rote Kreise

Abb. 3: Fünf rote Kreise

Abb. 4: Sechs rote Kreise

Abb. 5: Sieben rote Kreise

3 Konstruktion

Exemplarisch für den Fall von m = 5 roten Kreisen.

3.1 Kreiskranz

Wir beginnen mit einer Folge von m = 5 sich berührenden Kreisen, deren Mittelpunkte gleichmäßig auf dem Einheitskreis verteilt sind (Abb. 6).

Abb. 6: Kreiskranz

Dazu zeichnen wir den inneren und den äußeren Randkreis (blau in Abb. 7).

Abb. 7: Randkreise

Bei Bedarf können wir die roten Kreise um den Ursprung drehen (Abb. 8).

Abb. 8: Suppentrüller

3.2 Spiegelkreis

Nun zeichnen wir einen Kreis mit dem Mittelpunkt (–cos(π/m), 0), in unserem Beispiel also (–cos(π/5), 0) ≈ (–0.809, 0), und einem beliebigen Radius (ich habe den Radius 1 gewählt) (magenta in Abb. 9).

Abb. 9: Spiegelkreis

Die Bedeutung dieses Kreises ist folgende: Wenn wir die beiden blauen Randkreis an diesem Kreis spiegeln (im Sinne einer Kreisspiegelung), ergeben sich zwei nebeneinanderliegende gleich große Kreise (Abb. 10).

Abb. 10: Bilder der blauen Randkreise

3.3 Kreisspiegelung

Nun spiegeln wir ebenfalls den Kreiskranz (Abb. 6 und 7) an diesem magenta Kreis (Abb. 11). (Da das Zentrum des Spiegelkreises auf dem Rand von zwei roten Kreisen des Kreiskranzes liegt, werden diese auf Geraden abgebildet.)

Abb. 11: Spiegeln des Kreiskranzes

Wird nun der Kreiskranz gedreht (Abb. 12), beschreibt die Spiegelfigur die Steinerkette mit m Kreisen (vgl. Abb. 3 für m = 5).

Abb. 12: Steiner-Kette

Weblinks

Hans Walser: Steiner-Kette

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Steiner-Kette/Steiner-Kette.html