Hans Walser, [20201217]

Stereografische Projektion

1   Worum geht es?

Darstellung der platonischen Kšrper in stereografischer Projektion. Schlegel Diagramm. FŠcher-Konstruktionen.

2   Vorgehen

Zum gegebenen platonischen Kšrper zeichnen wir die Umkugel. Senkrecht Ÿber der Mitte einer SeitenflŠche wŠhlen wir das Projektionszentrum (blau eingezeichnet). Der platonische Kšrper wird so in den Raum gestellt, dass dieses Projektionszentrum oben ist (Nordpol). Als Projektionsebene wŠhlen wir die €quatorebene oder eine dazu parallele Ebene, zum Beispiel die Bodenebene. Die Wahl der Parallelebene hat keinen Einfluss auf das projizierte Bild.

Der platonische Kšrper wird als Kantenmodell gezeichnet, wobei die Kanten als Zylinder gezeichnet werden. Man kann also auch von einem Drahtmodell sprechen. Die Ecken werden durch eingepasste Kugeln mit dem Zylinderdurchmesser abgerundet.

Diese Art der Darstellung hat zur Folge, dass die Kanten in der NŠhe des Projektionszentrums (also die oberen Kanten) sehr dick gezeichnet werden, die entfernteren Kanten dŸnner. In die Tiefe laufende Kanten werden zunehmend dŸnner (perspektivische VerkŸrzung).

Das Schlegel-Diagramm wird mit derselben Geometrie, aber ohne perspektivische VerkŸrzung gezeichnet. Die Schlegel-Diagramme der stereografisch projizierten platonischen Kšrper kšnnen mit interessanten FŠcher-Konstruktionen in der Ebene gezeichnet werden.

3   Die platonischen Kšrper

3.1  Tetraeder

Abb. 1: Tetraeder mit Umkugel und Projektionszentrum

Abb. 2: Stereografische Projektion

Die Konstruktion des Schlegel-Diagramms ergibt sich durch Winkelhalbierende (Abb. 3).

Abb. 3: Schlegel-Diagramm

3.2  Hexaeder (WŸrfel)

Abb. 4: WŸrfel mit Umkugel und Projektionszentrum

Abb. 5: Stereografische Projektion

Die Abbildung 6 zeigt das Schlegel-Diagramm zusammen mit seiner Konstruktion. Das gelbe Dreieck ist gleichseitig.

Als Projektionsebene dient zunŠchst die Ebene des Deckquadrates des WŸrfels. Dann wird die Figur dem Betrachter vorgestellt.

Abb. 6: Schlegel-Diagramm

Einfacher, aber nicht so leicht verstŠndlich (Nachweis durch Rechnung), ist die FŠchermethode (Abb. 7). Die blauen und hellblauen FŠcherwinkel messen je 15¡.

Abb. 7: FŠcher

3.3  Oktaeder

Abb. 8: Oktaeder mit Umkugel und Projektionszentrum

Abb. 9: Stereografische Projektion

Die Abbildung 10 zeigt die Konstruktion des Schlegel-Diagramms auf der Basis eines geviertelten DIN-Rechteckes (gelb). Der orange Rhombus gibt eine Seitenansicht des Oktaeders. Als Projektionsebene dient die Ebene des Deckdreieckes des Oktaeders. Dann wird die Figur dem Betrachter vorgestellt.

Abb. 10: Konstruktion des Schlegel-Diagramms

Viel einfacher, aber nicht so leicht verstŠndlich (Herleitung folgt), ist die FŠchermethode (Abb. 11). Die blauen und hellblauen FŠcherwinkel messen wie beim WŸrfel je 15¡.

Abb. 11: FŠcher

FŸr die Herleitung der FŠchermethode arbeiten wir mit den Daten der Abbildung 12. Sie basiert auf der Abbildung 10a. Wir berechnen den Zwischenwinkel  der beiden Vektoren und .

Abb. 12: Beweisfigur

FŸr die eingezeichnete Strecke a gilt:

 

                                                                             (1)

 

 

 

Daraus erhalten wir fŸr die Strecke b:

 

                                                                                         (2)

 

 

 

FŸr den Vektor  ergibt sich:

 

                                           (3)

 

 

 

 

 

Analog:

 

                                                                                               (4)

 

 

 

 

Daraus erhalten wir:

 

                                                                   (5)

 

 

 

Damit ist die Stimmigkeit der FŠcher-Konstruktion der Abbildung 11 gezeigt.

3.4  Dodekaeder

Abb. 13: Dodekaeder

Abb. 14: Dodekaeder in stereografischer Projektion

Die Abbildung 15 zeigt das Schlegel-Diagramm, gezeichnet mit den klassischen Methoden der darstellenden Geometrie.

Abb. 15: Schlegel-Diagramm

SŠmtliche Eckpunkte des Schlegel-Diagramms lassen sich durch die FŠcher der Abbildung 16 konstruieren. Der FŠcherwinkel misst 6¡. Verifikation mit DGS.

Abb. 16: FŠcher

3.5  Ikosaeder

Abb. 17: Ikosaeder

Abb. 18: Ikosaeder in stereografischer Projektion

In der Abbildung 18 sind einige Kanten durch die dicken Kanten im Vordergrund verdeckt.

Die Abbildung 19 zeigt eine Version mit dŸnneren Kanten.

Abb. 19: DŸnne Kanten

Die Abbildung 20 zeigt das Schlegel-Diagramm, lege artis gezeichnet.

Abb. 20: Schlegel-Diagramm

Der FŠcher-Trick funktioniert auch hier (Abb. 21). Der FŠcherwinkel ist wie beim Dodekaeder 6¡. Verifikation mit DGS.

Abb. 21: FŠcher

4   Eine Invariante

Es besteht ein Zusammenhang zwischen dem FŠcherwinkel und der Kantenzahl (Tab. 1).

 

Polyeder

Kantenzahl

FŠcherwinkel

Produkt

Tetraeder

6

30¡

180¡

WŸrfel/Oktaeder

12

15¡

180¡

Dodekaeder/Ikosaeder

30

6¡

180¡

Tab. 1: Kantenzahl und FŠcherwinkel

 

Websites

Hans Walser: Ikosaeder
https://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/I/Ikosaeder/Ikosaeder.htm

Hans Walser: Kuboktaeder
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kuboktaeder/Kuboktaeder.htm

Hans Walser: SemiregulŠres Ikosaeder
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Semireg_Ikosaeder/Semireg_Ikosaeder.htm

Hans Walser: Stereografische Projektion
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Stereo_Proj_4/Stereo_Proj_4.htm