Hans Walser, [20130604b]
Anregung: H. M.-S., V.
Sternfigur
1 Dreieck mit Hšhen
Wir beginnen mit einem beliebigen Dreieck und zeichnen die Hšhen ein (Abb. 1).
Abb. 1: Dreieck mit Hšhen
2 Rechtwinklige Dreiecke ansetzen
Die Fu§punkte der Hšhen unterteilen die Dreiecksseiten in je zwei Abschnitte. Diese verwenden wir als Katheten fŸr rechtwinklige Dreiecke, welche wir den Abschnitten gemŠ§ Abbildung 2 ansetzen. Rechtwinklige Dreiecke gleicher Farbe sind also kongruent.
Abb. 2: Ansetzen von rechtwinkligen Dreiecken
3 Schnittpunkte
Nun verlŠngern wir die Hypotenusen dieser Dreiecke und die Hšhen des Dreieckes. Je zwei Hypotenusen und eine Hšhe schneiden sich in einem Punkt (Abb. 3). Numerisch verifiziert, Beweis steht noch aus.
Abb. 3: Sternfigur
4 Variante
Wir zeichnen in einem beliebigen Dreieck zwei Hšhen und eine Mittelsenkrechte gemŠ§ Abbildung 4. ZusŠtzlich setzen wir zwei rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke an.
Abb. 4: Rechtwinklige gleichschenklige Dreiecke ansetzen
Die verlŠngerten Hypotenusen und die Mittelsenkrechte schneiden sich in einem Punkt (Abb. 5).
Abb. 5: Schnittpunkt
Mehr noch: Wir kšnnen ein weiteres rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck einpassen (Abb. 6).
Abb. 6: Ein drittes rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck
NatŸrlich lŠsst sich das jetzt fŸr die anderen Seiten wiederholen, die Gesamtfigur wird aber unŸbersichtlich.
5 Gleichseitiges Dreieck
Am gleichseitigen Dreieck sind die anzusetzenden rechtwinkligen Dreiecke aus SymmetriegrŸnden gleichschenklig (Abb. 7).
Abb. 7: Gleichseitiges Dreieck
Die Schnittpunkteigenschaft ist aus SymmetriegrŸnden trivial (Abb. 8). Die Schnittpunkte liegen auf dem Rand der konvexen HŸlle der Figur der Abbildung 7.
Abb. 8: Schnittpunkte auf Umriss
Abb. 9: Ring
Abb. 10: Ring