Hans Walser, [20181103], [20181216]
Stetige Teilung
Die Euklidische Definition der stetigen Teilung wird verallgemeinert.
Eine
Strecke hei§t stetig geteilt (Walser
2013, S. 13), wenn fŸr die Teilstrecken und
mit
gilt:
(1)
Die Abbildung 1 illustriert den Sachverhalt.
Abb. 1: Stetige Teilung
Man spricht in dieser Situation auch von der Teilung im Goldenen Schnitt.
Wir
arbeiten mit drei TeilstŸcken ,
und
mit
, und es soll gelten:
(2)
Die Abbildung 2 illustriert den Sachverhalt.
Abb.3: Drei Teile
Wir
arbeiten mit n TeilstŸcken , und es soll gelten:
(3)
Die Abbildung 3 illustriert den Sachverhalt fŸr n = 2, 3, ... , 10.
Abb. 3: Stetige Teilungen
Die Abbildung 4 zeigt dasselbe mit Balkendiagrammen.
Abb. 4: Stetige Teilungen
Die
Gleichung (3) beinhaltet nur Gleichungen
fŸr die n Unbekannten
. Wir fŸhren als weitere Gleichung die Normierung
(4)
ein.
Das aus (3) und (4) bestehende Gleichungssystem ist nicht linear. Dies macht das Auflšsen schwierig.
FŸr n = 2 erhalten wir die Werte der Tabelle 1.
i |
|
1 |
0.3819660113 |
2 |
0.6180339887 |
Tab. 1: Zwei Teile
Wir erhalten die Werte des Goldenen Schnittes.
FŸr n = 3 erhalten wir die Werte der Tabelle 2.
i |
|
1 |
0.19806226419515996 |
2 |
0.3568958678922133 |
3 |
0.4450418679126268 |
Tab. 2: Drei Teile
Die drei Teile bilden keine geometrische Folge.
FŸr n = 4 erhalten wir die Werte der Tabelle 3.
i |
|
1 |
0.12061475842818324 |
2 |
0.22668159690567746 |
3 |
0.30540728933227856 |
4 |
0.3472963553338607 |
Tab. 3: Vier Teile
FŸr n = 5 erhalten wir die Werte der Tabelle 4.
i |
|
1 |
0.08101405277100522 |
2 |
0.15546482879562723 |
3 |
0.21732076897616492 |
4 |
0.2615706729106323 |
5 |
0.2846296765465703 |
Tab. 4: FŸnf Teile
Wir fŸhren fŸr i = 1, ..., n und m = 2n +1 drei neue Folgen ein:
(5)
(6)
(7)
Die Tabelle 5 zeigt die Werte fŸr n = 5.
i |
|
|
|
1 |
0.08101405280 |
0.1554648288 |
0.08101405288 |
2 |
0.1554648288 |
0.2615706730 |
0.1554648289 |
3 |
0.2173207690 |
0.2846296766 |
0.2173207692 |
4 |
0.2615706730 |
0.2173207690 |
0.2615706732 |
5 |
0.2846296766 |
0.08101405280 |
0.2846296763 |
Tab. 5: Zwei neue Folgen
Wir
vermuten, dass die Folgen und
untereinander und mit der Folge
Ÿbereinstimmen.
Die Folge
hat
dieselben Werte wie die anderen Folgen, aber sie sind anders angeordnet. Die
grš§te Zahl ist in der Mitte.
Die
Gleichwertigkeit der drei Folgen kann mit
trigonometrischen Mitteln bewiesen werden. Siehe dazu [1].
FŸr die
†bereinstimmung mit der Folge muss
gezeigt werden, dass die Bedingungen (3) und (4) erfŸllt sind. Dazu habe ich
CAS verwendet. Ein formaler Beweis ist mir nicht gelungen.
Abb. 5: Rhombenrosette
Die Rhombenrosette der Abbildung 5 besteht aus n = 5 Ringen mit je m = 2n +1 = 11 Rhomben. Die dem Zentrum zugewandten Rhombenwinkel sind der Reihe nach:
(8)
Also:
(9)
FŸr die FlŠcheninhalte der Rhomben im i-ten Ring erhalten wir daraus:
(10)
Dabei ist
s die SeitenlŠnge der Rhomben. Wir
sehen, dass die FlŠchenverhŠltnisse der Folge entsprechen. Der FlŠchenanteil des
Šu§ersten Ringes mit den kleinsten Rhomben ist etwa 8.1%, der FlŠchenanteil des
mittleren Ringes mit den grš§ten Rhomben ist etwa 28.5%.
Die FlŠchenverhŠltnisse entsprechen der verallgemeinerten stetigen Teilung.
Literatur
Walser, H. (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing Ÿber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.
Weblinks
[1] Hans Walser: Trigonometrische IdentitŠt
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Trigo_Id/Trigo_Id.htm