Hans Walser, [20210610]

Stetige Teilung

1   Der Goldene Schnitt

Wir arbeiten mit der positiven Lšsung der Gleichung:

 

                                                                                                                      (1)

 

 

Die positive Lšsung ist:

 

                                                                                                      (2)

 

 

 

Es handelt sich hier um den Goldenen Schnitt (Walser 2013).

Die Abbildung 1 zeigt eine Illustration mit Kreisen.

Abb. 1: Radien im Goldenen Schnitt

Der gro§e Au§enkreis hat den Radius 1. Der mittlere Kreis hat den Radius x und der kleine den Radius x2.

Euklid verwendete fŸr den Goldenen Schnitt die Formulierung Stetige Teilung. Das TeilverhŠltnis von mittel zu gro§ ist dasselbe wie von klein zu mittel. Wichtig ist dabei, dass die Summe der Radien des mittleren und des kleinen Kreises den Radius des gro§en Kreises ergeben.

2   Kubische Situation

Die kubische Gleichung

 

                                                                                                             (3)

 



hat die positive Lšsung:

 

                                                           (4)

 

 

 

 

 

Entsprechend erhalten wir eine Kreisdarstellung (Abb. 2).

Abb. 2: Kubische Situation

3   Weitere Beispiele

Die Gleichungen

 

                                                                                                                     (5)

 

 

 

 

haben die positiven numerischen Lšsungen der Tabelle 1.

 

n

x

1

1

2

0.6180339880

3

0.5436890125

4

0.5187900637

5

0.5086603916

6

0.5041382584

7

0.5020170552

8

0.5009941779

9

0.5004931183

10

0.5002454623

Tab. 1: Positive Lšsungen

Die Lšsungen streben fŸr wachsendes n gegen 0.5. Das ist auch klar, weil:

 

                                                                                                                 (6)

 

 

 

 

Die Abbildung 3.1 zeigt fŸr n = 1, ... , 10 die Grafen von:

 

                                                                                                               (7)

 

 

 

 

Die positiven reellen Nullstellen sind die Lšsungen der Tabelle 1. Sie streben gegen 0.5.

Abb. 3: Nullstellen

Die Abbildung 3.2 zeigt die Funktionsgrafen fŸr n = 1, ... , 100. FŸr ungerade n haben wir keine weitere reelle Nullstelle. FŸr gerade n gibt es noch eine negative Nullstelle. Diese Nullstellen streben gegen –1.

Abb. 3.2: Weitere Grafen

Die Abbildung 4 zeigt die Kreis-Situation fŸr n = 4, ... , 10.

Abb. 4: Kreise

4   Weitere Beispiele im Goldenen Schnitt

Abb. 5: ZusŠtzliche Kreise

Abb. 6.1: Fraktal

FŸr die Anzahlen der Kreise erhalten wir geordnet nach Radien und Farben (die Abbildung 6.1a gibt eine ZŠhlhilfe):

 

Radius

Kreise total

Rote Kreise

Gelbe Kreise

x0

1

1

0

x1

1

0

1

x2

2

1

1

x3

3

2

1

x4

5

2

3

x5

8

4

4

x6

13

7

6

x7

21

10

11

Tab. 2: AbzŠhlen der Kreise

Abb. 6.1a: ZŠhlhilfe

Abb. 6.2: Farbduales Fraktal

Literatur

Walser, H. (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing Ÿber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.

 

Websites

Hans Walser: Miniaturen. Goldener Schnitt

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen_Uebersicht/Goldener_Schnitt/index.html

 

Hans Walser: Stetige Teilung

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Stetige_Teilung/Stetige_Teilung.htm