Hans Walser, [20191023]

Summe = Produkt

1   Worum geht es?

Zahlenspielerei. ParitŠtsproblem. Symmetrie.

2   Problemstellung

FŸr welche natŸrlichen Zahlen n hat die Gleichung

 

                                                                                             (1)

 

 

 

 

(mindestens) eine natŸrliche Zahl in der Lšsungsmenge?

3   Resultat

Es gilt eine ParitŠtsunterscheidung:

á            FŸr gerades n gibt es keine natŸrlich Zahl in der Lšsungsmenge.

á            FŸr ungerades n = u = 2m –1, n > 3, gibt es genau eine natŸrliche Zahl in der Lšsungsmenge, nŠmlich m. FŸr n = 3 gibt es die drei Lšsungen 0, 2, 4. FŸr n = 1 ergibt sich eine IdentitŠt mit unendlich vielen Lšsungen.

Herleitung folgt.

4   Nullstellen

Statt nach den Lšsungen der Gleichung (1) kšnnen wir auch nach den Nullstellen der Funktion

 

                                                                               (2)

 

 

 

 

fragen.

Diese Funktion setzt sich subtraktiv aus den beiden Teilfunktionen

 

                                                                                                       (3)

 

 

 

 

und

 

                                                                                                        (4)

 

 

 

 

zusammen. Wir diskutieren diese beiden Teilfunktionen zunŠchst einzeln.

4.1  Produktfunktion

Die Produktfunktion (3) hat die ganzzahligen Nullstellen 1, 2, ... , n.

FŸr gerades n ist der Funktionsgraf achsensymmetrisch (Abb. 1 fŸr n = 6) mit der senkrechten Symmetrieachse:

 

                                                                                                                         (5)

 

 

 

 

Abb. 1: Achsensymmetrischer Funktionsgraf

FŸr ungerades n ist der Funktionsgraf punktsymmetrisch mit dem Nullstellenpunkt

 

                                                                                                                         (6)

 

 

 

 

als Symmetriezentrum (Abb. 2 fŸr n = 7).

Abb. 2: Punktsymmetrischer Funktionsgraf

Au§erhalb des Nullstellbereiches wŠchst die Produktfunktion sehr stark. So ist bereits:

 

 

                                        und                                   (7)

 

 

 

 

4.2  Summenfunktion

Die Summenfunktion (4) lŠsst sich umformen:

 

                                                                        (8)

 

 

 

 

Es ist also eine lineare Funktion mit der Nullstelle . Die Summenfunktion wŠchst sehr langsam. Au§erhalb des Nullstellenbereiches kann sie als Stšrfunktion der Produktfunktion nicht zu Nullstellen fŸhren.

4.3  Differenzfunktion

FŸr gerades n haben die Produktfunktion und die Summenfunktion keine gemeinsamen Nullstellen. Die Summenfunktion ãzerstšrtÒ die ganzzahligen Nullstellen der Produktfunktion. ZusŠtzliche ganzzahlige Nullstellen kšnnten kšnnen allenfalls bei kleinen Werten von n entstehen. Ich habe das durch explizite Kontrolle fŸr einstellige n ausgeschlossen (sieh Beispiele unten).

FŸr ungerades n > 1 haben Produktfunktion und Summenfunktion die gemeinsame Nullstelle . Dies ist daher eine Nullstelle der Differenzfunktion. Die Punktsymmetrie bleibt erhalten. Zwei weitere ganzzahlige Nullstellen entstehen bei n = 3 (siehe unten). FŸr weitere kleine ungerade Zahlen habe ich weitere ganzzahlige Nullstellen explizit ausgeschlossen (siehe Beispiele unten).

Damit ist das oben formulierte Resultat nachgewiesen.

5   Beispiele

FŸr n = 1 lautet (1):

 

                                                                                                                 (9)

 

 

 

 

Dies ist eine IdentitŠt. Jede Zahl, insbesondere auch jede natŸrlich Zahl, ist Lšsung.

FŸr n = 2 lautet (1):

 

                                                                            (10)

 

 

 

 

 

 

Diese quadratische Gleichung hat die beiden Lšsungen:

 

                                                           (11)

 

 

 

 

 

 

Dabei erscheint der Goldene Schnitt (Walser 2013):

 

                                                                                                     (12)

 

 

 

 

Die beiden Lšsungen sind irrational.

Die Abbildung 3 zeigt den Grafen der zugehšrigen Funktion (2).

Abb. 3: Zwei irrationale Nullstellen

FŸr n = 3 ergibt sich aus (1) eine kubische Gleichung mit den drei Lšsungen:

 

                                                                                       (13)

 

 

 

 

Alle Lšsungen sind ganzzahlig.

Die zugehšrigen Rechnungen gemŠ§ (1) sind:

 

                                                               (14)

 

 

 

 

 

 

Die Abbildung 4 zeigt den zugehšrigen Funktionsgrafen gemŠ§ (2). Er ist punktsymmetrisch.

Abb.. 4: Drei ganzzahlige Nullstellen

FŸr n = 4 ergibt sich aus (1) eine Gleichung vierten Grades. Die reellen Lšsungen sind:

 

                                                                                         (15)

 

 

 

 

Die Abbildung 5 zeigt den Funktionsgrafen.

Abb. 5: Zwei nicht ganzzahlige Nullstellen

FŸr n = 5 erhalten wir:

 

                                       (16)

 

 

 

 

 

 

 

Wir haben eine ganzzahlige Lšsung, nŠmlich 3. Die zugehšrige Rechnung gemŠ§ (1) ist:

 

                                               (17)

 

 

 

 

Die Lšsung ist also trivial und der Symmetrie geschuldet.

Zwei weitere reelle Lšsungen sind irrational. Weiter gibt es zwei konjugiert komplexe Lšsungen.

Die Abbildung 6 zeigt den Funktionsgrafen. Er ist punktsymmetrisch an der ganzzahligen Nullstelle.

Abb. 6: Eine ganzzahlige und zwei irrationale Nullstellen

FŸr n = 6 erhalten wir vier reelle Nullstellen (Abb. 7). Der Funktionsgraf hat keine Symmetrie.

Abb. 7: Vier reelle Nullstellen bei n = 6.

FŸr n = 7 erhalten wir sieben reelle Nullstellen (mit CAS):

 

                                0.9725, 2.1319, 2.8406, 4, 5.1594, 5.8681, 7.0275

 

Eine Nullstelle, nŠmlich 4, ist ganzzahlig. Die zugehšrige Rechnung gemŠ§ (1) ist:

 

         (18)

 

 

 

 

Der Funktionsgraf ist punktsymmetrisch an der ganzzahligen Nullstelle (Abb. 8).

Abb. 8: Punktsymmetrie bei n = 7

FŸr n = 8 erhalten wir mit CAS 8 Nullstellen:

 

1.005628294, 1.972976355, 3.050440144, 3.970778058, 4.973493963, 6.049851041, 6.971346343, 8.005485802

 

Keine ist ganzzahlig. Die Nullstellen liegen aber nahe an ganzen Zahlen. Ein Unterscheiden von Auge ist kaum mšglich (Abb. 9). Der Funktionsgraf hat keine Symmetrien, ist aber von einer Achsensymmetrie nicht weit entfernt.

Abb. 9: Acht nicht beinahe ganzzahlige Nullstellen.

FŸr n = 9 erhalten wir 9 reelle Nullstellen (mit CAS):

 

0.9991091032, 2.005393850, 2.987567344, 4.012416665, 5, 5.987583335, 7.012432656, 7.994606150, 9.000890897

 

Eine Nullstelle, nŠmlich 5, ist ganzzahlig. Die Ÿbrigen sind fast ganzzahlig.

Der Funktionsgraf ist punktsymmetrisch an der ganzzahligen Nullstelle (Abb. 10).

Abb. 10: Eine ganzzahlige und acht fast ganzzahlige Nullstellen

FŸr n = 10 erhalten wir mit CAS 10 Nullstellen:

 

1.000124048, 1.999133021, 3.002484452, 3.996527124, 5.001730708, 6.001741559, 6.996528330, 8.002475928, 8.999130862, 10.00012397

 

Keine ist ganzzahlig. Die Nullstellen liegen aber nahe an ganzen Zahlen. Ein Unterscheiden von Auge ist kaum mšglich (Abb. 11). Der Funktionsgraf hat keine Symmetrien, ist aber von einer Achsensymmetrie nicht weit entfernt.

Abb. 11: Beinahe ganzzahlige Nullstellen und beinahe symmetrisch

Literatur

Walser, H. (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing Ÿber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.

 

Websites

Hans Walser: 1 2 3

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/1/1_2_3_2/1_2_3_2.htm