1 Worum geht es?

Wir illustrieren die Folge:

1 + 9 + 25 + 49 + 81 + ... (1)

Formal:

(2)

2 Rechnerischer Zugang

2.1 Explizite Formel

Es ist:

(3)

Mit den einschlägigen Formeln für die einzelnen Summen erhalten wir:

(4)

2.2 Rekursionsformel

Wegen (2) gilt mit dem Startwert s₁ = 1 die Rekursionsformel:

(5)

Damit kann die explizite Formel (4) induktiv verifiziert werden.

3 Geometrischer Zugang

3.1 Eine Pyramide

Wir bauen aus Einheitswürfeln eine Pyramide gemäß Abbildung 1. In jeder Pyramidenschicht haben wir eine ungerade Quadratzahl an Würfeln. Das Volumen der Pyramide ist also s_n.

In der Abbildung 1 ist n = 4. Die Pyramide hat 4 Schichten und am Boden eine Kantenlänge 2n –1 = 7.

Abb. 1: Pyramide

3.2 Ergänzung zum Würfel

Wir nehmen eine zweite Pyramide, entfernen den obersten Würfel, und legen sie umgekehrt auf der erste Pyramide (Abb. 2).

Abb. 2: Doppelpyramide

Der Umriss (die konvexe Hülle) der Doppelpyramide ist ein Würfel. Er hat die Kantenlänge 2n –1 = 7.

Das Volumen der Doppelpyramide ist 2s_n – 1 (es fehlt der oberste Würfel der zweiten Pyramide).

3.3 Stabilisierung

Der kleine Würfel in der Mitte ist die konstruktive Schwachstelle. Wir stabilisieren durch den Einbau von Stützwänden (Abb. 3).

Abb. 3: Stützwände

Im Beispiel der Abbildung 3 besteht jede der vier Stützwände zuäußerst aus 5 grauen Würfeln, dann folgen 3 graue Würfel und zuinnerst ist noch ein grauer Würfel. Wir haben es also pro Stützwand mit der Summe 1 + 3 + 5 oder allgemein mit der Summe

(6)

zu tun. Man überlege sich, dass die Obergrenze n – 1 korrekt ist.

3.4 Summe der ungeraden Zahlen

Für die Summe der ungeraden Zahlen gilt die schöne und einfache Formel:

(7)

Das Volumen der Doppelpyramide mit vier Stützwänden ist somit:

(8)

3.5 Weitere Pyramiden

Wir sehen in der Abbildung 3 auf allen vier Seiten ein Loch. Es hat die Form der Pyramide, allerdings nur mit n – 1 = 3 Lagen. Die Abbildung 4 zeigt exemplarisch, wie eine solche Seitenpyramide einzuschieben ist.