Hans Walser, [20160629]

Summe der ungeraden Quadratzahlen

Anregung: Heinz Klaus Strick, Leverkusen

1     Worum geht es?

Wir illustrieren und berechnen mit einer rŠumlichen †berlegung die Folge:

 

                                                  1 + 9 + 25 + 49 + 81 + ...                                             (1)

 

Formal:

 

                                                                                                             (2)

 

 

2     Eine Pyramide

Wir bauen aus EinheitswŸrfeln eine rote Pyramide mit n Schichten gemŠ§ Abbildung 1. In jeder Pyramidenschicht haben wir eine ungerade Quadratzahl an WŸrfeln. Das Volumen der Pyramide ist also sn.

Abb. 1: Pyramide

In der Abbildung 1 ist n = 4. Die Pyramide hat 4 Schichten und am Boden eine KantenlŠnge 2n –1 = 7.

3     Weitere Pyramiden

Wir bauen eine zweite Pyramide (zyan in der Abbildung 2). Auf die Spitze der roten Pyramide setzen wir einen grauen EinheitswŸrfel und darauf mit der Spitze nach unten die zweite Pyramide.

Abb. 2: Zweite Pyramide von oben

Entsprechend setzen wir vorne, hinten, links und rechts eine Pyramide an (Abb. 3). Die Pyramiden stehen gegenseitig nur Ÿber Kanten in Kontakt.

Abb. 3: Weitere Pyramiden

Die Gesamtfigur passt in einen WŸrfel der KantenlŠnge 2n + 1, fŸllt diesen aber nicht vollstŠndig aus. Bei den WŸrfelecken und WŸrfelkanten fehlen offensichtlich EinheitswŸrfel. Auch wissen wir aus der Abbildung 2, dass zuinnerst ein ãfremderÒ WŸrfel ist, der nicht zu den sechs Pyramiden gehšrt.

Die †berlegung lohnt sich, wo es Ÿberall im gro§en WŸrfel versteckte HohlrŠume gibt, die nicht zu den sechs Pyramiden gehšren.

Das Papiermodell der Abbildung 4 gibt an, wo sich WŸrfel-RŠume befinden, die nicht zu den sechs Pyramiden gehšren.

Abb. 4: Papiermodell

4     Analyse

Den WŸrfel im Zentrum (Abb. 2) haben wir schon erwŠhnt.

Von jeder der acht WŸrfelecken aus geht eine halbe Raumdiagonale zum Zentrum. In der Abbildung 5 ist ein Beispiel eingezeichnet.  

Abb. 5: Halbdiagonale

Die halben Raumdiagonalen bestehen aus je n WŸrfeln, welche nicht zu den Pyramiden gehšren. Von daher gibt es insgesamt 8n EinheitswŸrfel, die nicht zu den Pyramiden gehšren.

Weiter geht von jeder der zwšlf Kanten aus eine DreiecksflŠche zum Zentrum, die aus nicht zu den Pyramiden gehšrenden WŸrfeln besteht. In der Abbildung 6 ist ein Beispiel eingezeichnet.

Abb. 6: DreiecksflŠchen

Eine solche DreiecksflŠche enthŠlt 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) WŸrfel, welche nicht zu den Pyramiden gehšren. Wir haben es mit der Summe der n ersten ungeraden Zahlen zu tun. DafŸr gilt die schšne und einfache Formel:

 

                                                                                                               (3)

 

 

Es gibt auf diesen 12 DreiecksflŠchen also insgesamt 12n2 EinheitswŸrfel, welche nicht zu den Pyramiden gehšren.

5     Volumengleichung

FŸr den gro§en WŸrfel der KantenlŠnge 2n + 1 erhalten wir somit die Volumengleichung:

 

                                                 (4)

 

 

Daraus ergibt sich:

 

                                                                                                                 (5)

 

 

Websites

(26.06.2016)

 

Hans Walser: Summe der ungeraden Zahlen

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Summe_ungerader_Zahlen/Ungerade_Zahlen.htm

 

Hans Walser: WŸrfelmodell

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kantenmodell_Wuerfel/Kantenmodell_Wuerfel.htm