Hans Walser, [20080326a], [20160627]

1        Die Summe  ungerader Zahlen

ZunŠchst die ersten Beispiele:

 

 

 

 

 

Die Summe sn der n ersten ungeraden Zahlen ist .

2        Rechnerischer Beweis

Die ungeraden Zahlen bilden eine arithmetische Folge. Fźr eine arithmetische Folge  gilt allgemein:

 

 

 

 

In unserem Fall also:

 

 

 

Es gibt aber auch schšne geometrische Beweise.

3        Beweis mit Quadraten

Abb. 1: 25 Quadrate

Das gro§e Quadrat enthŠlt 25 kleine Quadrate. Aus der Figur rechts lesen wir ab:

 

 

4        Beweis mit Dreiecken

Abb. 2: 25 Dreiecke

Das gro§e Dreieck enthŠlt 25 kleine Dreiecke. Aus der Figur rechts lesen wir ab:

 

 

5        Anordnen

Die Abbildung 3a zeigt eine Stapelanordnung der ersten n ungeraden Zahlen. Die Basislinie hat die LŠnge 2n – 1. In der Abbildung 3b sind vier solche Stapel in einem Quadrat der SeitenlŠnge 2n angeordnet.

Abb. 3: Stapel und Quadrat

Somit ist: