Hans Walser, [20170313]
Symmetrie als Beweismittel
Idee und Anregung: E. V., M.
1 Worum geht es?
Es wird ein Satz der Elementargeometrie mit Hilfe der Symmetrieklassen fŸr FlŠchenornamente bewiesen.
2 Der Satz
Wir setzen den Seiten eines Sehnenvierecks Parallelogramme an (Abb. 1a). Die Parallelogramme sind jeweils aus zwei gegenŸberliegenden Seiten des Sehnenviereckes gebildet und haben alle denselben, aber beliebigen spitzen Winkel (kann auch ein rechter Winkel sein). GegenŸberliegende Parallelogramme sind also kongruent, sozusagen ãHochformatÒ und ãQuerformatÒ.
Abb. 1: Sehnenviereck und Parallelogramme
Satz: Die Zentren der Parallelogramme sind die Ecken eines Rechteckes.
3 Winkeleigenschaften
Im Sehnenviereck ergŠnzen sich gegenŸberliegende Winkel je auf 180¡. In den Parallelogrammen ergŠnzen sich spitze und stumpfe Winkel ebenfalls auf 180¡. Daher erscheinen die Innenwinkel des Sehnenvierecks au§en als Winkel zwischen den Parallelogrammen (Abb. 2a). Dabei wir die Orientierung umgedreht: der rote Winkel im Sehnenviereck hat als Schenkel im positiven Drehsinn die rote und die grŸne Seite des Sehnenviereckes, der rote Au§enwinkel hat dieselben Schenkel, aber im negativen Drehsinn.
Wir kšnnen daher zwischen die Parallelogramme spiegelbildliche (grŸne) Kopien des (gelben) Sehnenviereckes einfŸgen (Abb. 2b).
Abb. 2: Au§enwinkel
Die Abbildung 3 zeigt dasselbe wie die Abbildung 2b, zusŠtzlich sind nun auch die Parallelogramme gefŠrbt.
Abb. 3: Farbige Parallelogramme
4 FlŠchenornament
Die Figur der Abbildung 3 kšnnen wir zu einem FlŠchenornament ausbauen (Abb. 4).
Abb. 4: FlŠchenornament
5 Symmetrien
Das FlŠchenornament hat folgende Symmetrien (Abb. 5):
Drehungen um 180¡. Die Drehzentren sind die Mittelpunkte der Parallelogramme.
Schubspiegelungen mit Achsen in zwei verschiedenen Richtungen.
Abb. 5: Symmetrien
6 Symmetrieklassen
Bei FlŠchenornamenten gibt es 17 Symmetrieklassen [1] , [2] , [3] . Durchmustern der 17 Symmetrieklassen oder analytisches Vorgehen mit Hilfe der gegebenen Symmetrien zeigt, dass das FlŠchenornament zur Gruppe pgg gehšrt. Diese Gruppe hat keine Symmetrieachsen, hingegen zwei zueinander senkrechte Schubspiegelachsen sowie zwei Klassen Drehzentren fŸr Drehungen von 180¡ (Punktspiegelungen).
7 Rechteckraster
Die Schubspiegelachsen bilden ein Rechteckraster. Aus SymmetriegrŸnden sind die Drehzentren (also die Mittelpunkte der Parallelogramme) die Mittelpunkte der einzelnen Rasterrechtecke. Diese Drehzentren sind die Eckpunkte des zum Rechteckraster der Schubspiegelachsen dualen Rasters und bilden daher ebenfalls ein Rechteckraster.
Damit ist der Satz bewiesen.
FŸr den Beweis brauchten wir die Theorie der Symmetrieklassen der FlŠchenornamente. Diese Theorie wird also als Werkzeug eingesetzt.
Websites
[1] WallpaperPatterns (13.03.2017)
http://mathstat.slu.edu/escher/index.php/Wallpaper_Patterns
[2] Morandi, Patrick J. (2007): Symmetry Groups: The Classification of Wallpaper Patterns (13.03.2017)
http://sierra.nmsu.edu/morandi/OldWebPages/Math526Spring2007/Math526text2007-01-10.pdf
[3] Wikipedia: Ebene kristallographische Gruppe (13.03.2017)
https://de.wikipedia.org/wiki/Ebene_kristallographische_Gruppe