Hans Walser, [20250619]

Symmetrie und Optimierung

1 Problemstellung

Eine altgediente Aufgabe zu Optimierung geht so:

Mit Hilfe von einem 50 m langen Maschendraht soll ein rechteckiger Platz maximaler Fläche eingezäunt werden. Welche Länge a und welche Breite b müssen dafür gewählt werden?

2 Schulmäßige Lösung

Schulmäßiges Vorgehen des Musterschülers:

Hauptbedingung:

A(a,b) = ab soll maximal werden

Nebenbedingung:

U(a,b) = 2a + 2b = 50

Aus der Nebenbedingung ergibt sich

b = 25 – a

Wenn wir dies in die Flächenformel der Hauptbedingung einsetzen, erhalten wir einen Ausdruck, der nur noch von a abhängig ist:

A(a) = a(25 – a)

A(a) = –a² + 25a

Zu Bestimmung des Maximums setzen wir die Ableitung gleich null:

dA/da = –2a + 25 = 0

Daraus folgt die Lösung a = 12.5 und b = 12.5. Der optimale Platz ist ein Quadrat.

3 Symmetrie als Hilfsmittel

Idee einer Schülerin: Wir gehen vom Mittelwert ¼U = 12.5 für die Seitenlänge aus und setzen:

a = 12.5 + x

b = 12.5 – x

Damit ist die Nebenbedingung erfüllt. Für den Flächeninhalt A erhalten wir:

A(x) = (12.5 + x)(12.5 – x)

Mit der dritten binomischen Formel ergibt sich:

A(x) = (12.5 + x)(12.5 – x) = 12.5² – x²

Dies ist maximal für x = 0. Der maximale Wert ist 12.5² = 156.25.

4 Visualisierungen

Das orange Quadrat (Abb. 1) entspricht dem x².

Abb. 1: Die Differenz wird immer größer

Die Abbildung 2 zeigt eine abgeänderte Disposition.

Abb. 2: Animation