Hans Walser, [20250704]

Tangens im Dreieck

Hinweis: Hartmut Müller-Sommer, Vechta

1 Worum es geht

Eine trigonometrische Identität mit Tangenswerten im allgemeinen Dreieck.

2 Die Formel

Für α, β, γ mit α + β + γ = π gilt:

tan(α) + tan(β) + tan(γ) = tan(α) tan(β) tan(γ)

Die Summe der Tangenswerte ist gleich dem Produkt der Tangenswerte.

3 Beweis mit Additionstheorem und Rechnen

Wegen α + β + γ = π ist:

tan(γ) = tan(π – (α + β))

Wegen tan(π) = 0 erhalten wir aus dem Additionstheorem für den Tangens:

tan(γ) = –tan(α + β))

Aus dem Additionstheorem für den Tangens folgt weiter:

Umgeformt:

Somit erhalten wir für die Summe tan(α) + tan(β) + tan(γ):

Dies lässt sich umformen zu:

Für das Produkt tan(α) tan(β) tan(γ) ergibt sich direkt:

Summe und Produkt sind also gleich.

4 Bezug zum Dreieck

4.1 Beweis

Für die Innenwinkelsumme eines allgemeinen Dreiecks ABC gilt in der üblichen Schreibweise:

α + β + γ = π

Wir passen nun zum Dreieck ein Koordinatensystem ein so dass A(–1, 0) und B(1, 0). Der Eckepunkt C hat dann die allgemeinen Koordinaten C(x,y).

In dieser Schreibweise wird zunächst:

Den Winkel γ unterteilen wir mit der Höhe h_c in zwei Teilwinkel γ₁ und γ₂. Für diese gilt:

Dies sind die Kehrwerte von tan(α) und tan(β). Wegen

und dem Additionstheorem

ergibt sich:

Somit erhalten wir für die Summe tan(α) + tan(β) + tan(γ):

Für das Produkt tan(α) tan(β) tan(γ) ergibt sich:

Summe und Produkt stimmen überein.

4.2 Illustration am Dreieck

Wir definieren die Funktion f(x, y):

Diese Funktion beschreibt also die Summe und damit auch das Produkt der drei Tangenswerte.

Die Funktion hat Nullstellen für y = 0, also für Punkte C, welche auf der Geraden durch A und B liegen. Für solche Punkte C ist das Dreieck ABC „flachgedrückt“, die Innenwinkel messen entweder 0 oder π, die Tangenswerte davon sind 0.

Weiter hat die Funktion Polstellen für

und für

also für

sowie:

Diese Polstellen beschreiben den Einheitskreis, in unserer Situation also den Thaleskreis über AB, sowie die beiden zur Geraden AB orthogonalen Geraden durch A beziehungsweise B. Liegt C auf einer dieser Polstellen, ist das Dreieck rechtwinklig und einer der Tangenswerte existiert nicht (Jargon: ist „unendlich“).

Die Abbildung 1 gibt in der xy-Ebene die Vorzeichen der Funktion f(x, y) farbcodiert an. Blau heißt positiv, rot negativ. Die Punkte A(–1, 0) und B(1, 0) sind schwarz eingezeichnet.

Abb. 1: Vorzeichen der Funktion f(x, y)

Farbwechsel haben wir bei den Nullstellen (horizontale Gerade durch A und B) sowie den Polstellen. Für das positiv orientierte gleichseitige Dreieck ist der Eckpunkt C(0,√3) im oberen blauen Bereich, in der Abbildung 1 schwarz eingezeichnet. Für das negativ orientierte gleichseitige Dreieck ist der Eckpunkt C(0, –√3) im unteren roten Bereich, in der Abbildung 1 ebenfalls schwarz eingezeichnet.

Für positiv orientierte spitzwinklige Dreiecke liegt der Eckpunkt C im oberen blauen Bereich, für positiv orientierte stumpfwinklige Dreiecke in den oberen roten Bereichen.
Für negativ orientierte spitzwinklige Dreiecke liegt der Eckpunkt C im unteren roten Bereich, für negativ orientierte stumpfwinklige Dreiecke in den unteren blauen Bereichen.

Die Abbildung 2 zeigt die Niveaulinien der Funktion f für die Niveaus von –10 bis +10 mit Äquidistanz 0.5.

Abb. 2: Niveaulinien

4.3 Stationäre Stellen

Für die Nullstellen des Gradienten von f erhalten wir drei Lösungen.

Zwei Lösungen sind C(0, ±√3). Diese Lösungen führen zu den gleichseitigen Dreiecken. Das positiv orientierte gleichseitige Dreieck hat an der Stelle C ein lokales Minimum der Funktion f. Das negativ orientierte gleichseitige Dreieck hat an der Stelle C ein lokales Maximum. Die beiden lokalen Extremstellen sind in der Abbildung 2 als schwarze Punkte eingezeichnet.

Die dritte Lösung ist die Gerade y = 0. An den Nullstellen des Funktionsgrafen haben wir also stationäre Stellen („Terrassenpunkte“). In der Abbildung 2 zeigt sich dies durch große weiße Bereiche neben der schwarz eingezeichneten Niveaulinie null.