Hans Walser, [20150838]
Tangentensiebeneck
Zu
gegebenen sieben SeitenlŠngen kann ein
Tangentensiebeneck konstruiert werden. Die notwendige Rechnung benštigt
allerdings CAS.
Das Vorgehen kann auf beliebige Tangentenvielecke ungerader Eckenzahl Ÿbertragen werden.
Die Abbildung 1 zeigt die verwendeten Bezeichnungen.
Abb. 1: Bezeichnungen
Es ist mit zyklischer Indizierung:
(1)
FŸr die
Berechnung der haben wir
das Gleichungssystem:
(2)
Dieses Gleichungssystem hat die Koeffizientenmatrix C:
mit
(3)
Man beachte, dass die analoge Matrix mit einer geraden Spalten- und Zeilenzahl singulŠr ist.
Mit der Schreibweise (halber Umfang, s)
(4)
folgt aus (2):
(5)
Damit
kšnnen wir auf jeder Seite die
Position des BerŸhrungspunktes
des Inkreises
bestimmen. Interessant wird die Situation, wenn einzelne
-Werte negativ werden.
Fehlt noch der Inkreisradius r. Dazu folgende †berlegung. Das Siebeneck hat die Innenwinkelsumme:
(6)
Aus
(7)
erhalten wir daher die Gleichung fŸr den Inkreisradius r:
(8)
Wir lšsen (8) mit CAS nach r auf. Eine allgemeine Formel ist leider viel zu lang, wir arbeiten daher mit numerischen Daten:
(9)
Maple liefert:
restart:
n:=7: # Eckenzahl
a[1]:=6: a[2]:=7: a[3]:=8: a[4]:=9: a[5]:=10:
a[6]:=8: a[7]:=10:
for i from n+1 to 2*n do
a[i]:=a[i-7]:
end:
s:=1/2*sum(a[j], j=1..n):
for i from 1 to n do
x[i]:=s-a[i+1]-a[i+3]-a[i+5]:
end:
glg:=sum(arctan(r/x[j]), j=1..7)=5/2*Pi;
r:=solve(glg, r);
r:=evalf(r);
Abb. 2: Berechnung
FŸr die Berechnung von r werden auch kubische Wuzeln benštigt. Wir erhalten numerisch ein komplexes Resultat, aber das ist wohl, weil das System am Anschlag ist oder ich nicht optimal programmiert habe. Der ImaginŠrteil dŸrfte null sein. Somit haben wir fŸr den Inkreisradius r:
(10)
Die
Zeichnung entspricht den Daten (9). Wir beginnen mit ,
und r gemŠ§ Abbildung 3.
Abb. 3: Start
Anschlie§end kšnnen wir die weiteren Seiten tangential anlegen, bis sich die Figur schlie§t (Abb. 4).
Abb. 4: Tangentensiebeneck
Die Abbildung 5 zeigt ein regelmŠ§iges Siebeneck und davon abgeleitete Sterne gleicher SeitenlŠnge.
Abb. 5: Sterne
In der Abbildung 5c erkennen wir zuinnerst ein Siebeneck der Abbildung 5a und zuzweitinnerst einen Stern der Abbildung 5b.
Das
regelmŠ§ige Siebeneck der Abbildung 5a wird gelegentlich mit {7} notiert, fŸr
den Stern der Abbildung 5b ist die Notation gebrŠuchlich und fŸr den Stern der Abbildung
5c die Bezeichnung
. Man kann sich Ÿberlegen, wie
und
aussehen
und was
oder
bedeutet.
Die
Innenwinkelsumme fŸr ist
und fŸr
nur noch
¹. Wenn wir in der Gleichung (8) diese Werte einsetzen, erhalten wir den
Inkreisradius fŸr die entsprechenden Sterne.
Mit den
Daten (9) erhalten wir beim Stern den
Inkreisradius:
(11)
Die Abbildung 6 zeigt den zugehšrigen Stern. Da die SeitenlŠngen (8) unregelmŠ§ig sind, ist dies auch der Stern.
Abb. 6: Stern
Mit den
Daten (9) erhalten wir beim Stern den
Inkreisradius:
(12)
Die Abbildung 7 zeigt den zugehšrigen Stern.
Abb. 7: Zweiter Stern
Das
Verfahren lŠsst sich auf Tangentenvielecke mit ungerader Eckenzahl n verallgemeinern. Die Anzahl der
verschiedenen Sterne ist . Zum Dreieck gehšrt kein Stern, zum FŸnfeck einer
(Pentagramm), zum Siebeneck zwei, zum Neuneck drei.
Die Abbildung 8 zeigt ein Beispiel zum Tangentenneuneck.
Abb. 8: Tangentenneuneck
Die
Abbildung 9 gibt die drei zugehšrigen Sterne. Die Sterne sind so ausgerichtet,
dass die horizontalen Seiten auf einer
Geraden liegen.
Abb. 9: Sterne