Hans Walser, [20150838]
Tangentensiebeneck
Zu gegebenen sieben SeitenlŠngen kann ein Tangentensiebeneck konstruiert werden. Die notwendige Rechnung benštigt allerdings CAS.
Das Vorgehen kann auf beliebige Tangentenvielecke ungerader Eckenzahl Ÿbertragen werden.
Die Abbildung 1 zeigt die verwendeten Bezeichnungen.
Abb. 1: Bezeichnungen
Es ist mit zyklischer Indizierung:
(1)
FŸr die Berechnung der haben wir das Gleichungssystem:
(2)
Dieses Gleichungssystem hat die Koeffizientenmatrix C:
mit (3)
Man beachte, dass die analoge Matrix mit einer geraden Spalten- und Zeilenzahl singulŠr ist.
Mit der Schreibweise (halber Umfang, s)
(4)
folgt aus (2):
(5)
Damit kšnnen wir auf jeder Seite die Position des BerŸhrungspunktes des Inkreises bestimmen. Interessant wird die Situation, wenn einzelne -Werte negativ werden.
Fehlt noch der Inkreisradius r. Dazu folgende †berlegung. Das Siebeneck hat die Innenwinkelsumme:
(6)
Aus
(7)
erhalten wir daher die Gleichung fŸr den Inkreisradius r:
(8)
Wir lšsen (8) mit CAS nach r auf. Eine allgemeine Formel ist leider viel zu lang, wir arbeiten daher mit numerischen Daten:
(9)
Maple liefert:
restart:
n:=7: # Eckenzahl
a[1]:=6: a[2]:=7: a[3]:=8: a[4]:=9: a[5]:=10:
a[6]:=8: a[7]:=10:
for i from n+1 to 2*n do
a[i]:=a[i-7]:
end:
s:=1/2*sum(a[j], j=1..n):
for i from 1 to n do
x[i]:=s-a[i+1]-a[i+3]-a[i+5]:
end:
glg:=sum(arctan(r/x[j]), j=1..7)=5/2*Pi;
r:=solve(glg, r);
r:=evalf(r);
Abb. 2: Berechnung
FŸr die Berechnung von r werden auch kubische Wuzeln benštigt. Wir erhalten numerisch ein komplexes Resultat, aber das ist wohl, weil das System am Anschlag ist oder ich nicht optimal programmiert habe. Der ImaginŠrteil dŸrfte null sein. Somit haben wir fŸr den Inkreisradius r:
(10)
Die Zeichnung entspricht den Daten (9). Wir beginnen mit , und r gemŠ§ Abbildung 3.
Abb. 3: Start
Anschlie§end kšnnen wir die weiteren Seiten tangential anlegen, bis sich die Figur schlie§t (Abb. 4).
Abb. 4: Tangentensiebeneck
Die Abbildung 5 zeigt ein regelmŠ§iges Siebeneck und davon abgeleitete Sterne gleicher SeitenlŠnge.
Abb. 5: Sterne
In der Abbildung 5c erkennen wir zuinnerst ein Siebeneck der Abbildung 5a und zuzweitinnerst einen Stern der Abbildung 5b.
Das regelmŠ§ige Siebeneck der Abbildung 5a wird gelegentlich mit {7} notiert, fŸr den Stern der Abbildung 5b ist die Notation gebrŠuchlich und fŸr den Stern der Abbildung 5c die Bezeichnung . Man kann sich Ÿberlegen, wie und aussehen und was oder bedeutet.
Die Innenwinkelsumme fŸr ist und fŸr nur noch ¹. Wenn wir in der Gleichung (8) diese Werte einsetzen, erhalten wir den Inkreisradius fŸr die entsprechenden Sterne.
Mit den Daten (9) erhalten wir beim Stern den Inkreisradius:
(11)
Die Abbildung 6 zeigt den zugehšrigen Stern. Da die SeitenlŠngen (8) unregelmŠ§ig sind, ist dies auch der Stern.
Abb. 6: Stern
Mit den Daten (9) erhalten wir beim Stern den Inkreisradius:
(12)
Die Abbildung 7 zeigt den zugehšrigen Stern.
Abb. 7: Zweiter Stern
Das Verfahren lŠsst sich auf Tangentenvielecke mit ungerader Eckenzahl n verallgemeinern. Die Anzahl der verschiedenen Sterne ist . Zum Dreieck gehšrt kein Stern, zum FŸnfeck einer (Pentagramm), zum Siebeneck zwei, zum Neuneck drei.
Die Abbildung 8 zeigt ein Beispiel zum Tangentenneuneck.
Abb. 8: Tangentenneuneck
Die Abbildung 9 gibt die drei zugehšrigen Sterne. Die Sterne sind so ausgerichtet, dass die horizontalen Seiten auf einer Geraden liegen.
Abb. 9: Sterne