Hans Walser, [20150811]

Tangentenvierecke

Anregung: W. G., M.

1     Worum es geht

Vierecke mit  haben einen Inkreis. Sie werden daher als Tangentenvierecke bezeichnet.

Allerdings ist ein Tangentenviereck durch seine vier Seiten a, b, c, d mit der Nebenbedingung  nicht eindeutig festgelegt. Wir kšnnen vielmehr ein Gelenkmodell bauen. Die Abbildung 1 zeigt ein Gelenkmodell mit a = 10, b = 7, c = 5, d = 8.

 

Abb. 1: Tangentenviereck als Gelenkmodell

 

In jeder Position hat das Viereck einen Inkreis. Die Grš§e des Inkreises variiert aber.

Im Folgenden werden Grš§e und Lage des Inkreises untersucht. Insbesondere interessiert das Tangentenviereck mit maximalem Inkreis.

2     Beispielsequenz

Die Abbildung 2 zeigt eine Sequenz von Positionen des Tangentenviereckes. Dabei wurden die Eckpunkte A und B auf dem Zeichenpapier fixiert und die Punkte C und D gemŠ§ dem Gelenkmechanismus bewegt. Faktisch kann zum Beispiel C bewegt werden worauf sich D ergibt. Wir haben einen freien Parameter.

In jeder Position sind der Inkreis und dessen Mittelpunkt eingezeichnet. Beim nicht-konvexen Tangentenviereck mźssen geeignete Seiten nach innen verlŠngert werden um den Inkreis zeichnen zu kšnnen.

 

 

Abb. 2: Verschiedene Positionen des Tangentenviereckes

 

Die Zentren der Inkreise liegen offenbar auf einem Kreis (in der Abbildung 2 blau eingezeichnet). Dieser Kreis hat sein Zentrum auf der Seite a und ist gleich gro§ wie der maximal mšgliche Inkreis.

3     Konstruktion des blauen Kreises

Zur Konstruktion des blauen Kreises zeichnen wir ein Dreieck ABC mit den Seiten ,  und  (Abb. 3). Das ist ein Sonderfall des Tangentenviereckes, indem der Winkel  gewŠhlt wird. In diesem Dreieck zeichnen wir den Inkreis mit dem Inkreismittelpunkt I. – Der Inkreis berźhrt die Seite CA im Punkt D. Dies ist fźr unsere †berlegungen aber nicht relevant.

Abb.3: Konstruktion des blauen Kreises

 

Nun zeichnen wir die Senkrechte zur Winkelhalbierenden  durch I und schneiden diese Senkrechte mit der Seite AB. Der Schnittpunkt M ist der Mittelpunkt des blauen Kreises. Der blaue Kreis verlŠuft durch I. Man beachte, dass der Punkt M nicht der Mittelpunkt der Strecke AB ist.

4     Konstruktion des optimalen Tangentenviereckes

Der blaue Kreis ist so gro§ wie der maximal mšgliche Inkreis des Tangentenvierecks. Wir kšnnen nun den blauen Kreis hochziehen gemŠ§ Abbildung 4 und erhalten so den Inkreis des optimalen Tangentendreieckes.

 

Abb. 4: Optimales Tangentenviereck

 

Von A und B aus kšnnen wir nun die Tangenten mit den LŠngen d respektive b zeichnen und erhalten so die Punkte D und C.

Nun haben wir eine Kontrollmšglichkeit: Die Strecke CD muss die LŠnge c haben und den Inkreis berźhren.

Konstruktion mit DGS erhŠrtet.