Hans Walser, [20180224]
Teilbarkeit durch 3
Visueller Beweis.
Die Zahl ist durch
3 teilbar.
Beispiele:
n |
|
Zerlegung |
0 |
0 |
3*0 |
1 |
3 |
3*1 |
2 |
15 |
3*5 |
3 |
63 |
3*21 |
4 |
255 |
3*85 |
5 |
1023 |
3*341 |
Tab. 1: Beispiele
Verankerung siehe Tabelle 1.
Induktionsschritt.
Sei durch 3
teilbar.
Es ist:
(1)
Damit ist
auch durch 3
teilbar.
Bemerkung:
Analog kann gezeigt werden, dass durch 3
teilbar ist.
Wir
arbeiten mit einem gleichseitigen Dreieck und unterteilen seine Seiten durch
fortlaufendes Halbieren in Teile. Damit
kšnnen wir das Dreieck in
Dreiecke
unterteilen (Abb. 1).
Abb. 1: Unterteilung
Wenn wir uns bei der Unterteilung auf das mittelste Dreieck beschrŠnken, sehen wir, dass der Mittelpunkt (Schwerpunkt) des Dreiecks stets im Inneren eines Teildreiecks liegt (Abb. 2).
Abb. 2: Mittelpunkt im Inneren eines Teildreiecks
Dieses den Mittelpunkt des Startdreiecks enthaltende Teildreieck fŠrben wir schwarz. Durch VerlŠngerung der Seiten des schwarzen Teildreiecks kšnnen wir aus Symmetriegrźnden das Startdreieck in drei kongruente Teile unterteilen, welche alle eine ganze Anzahl von Teildreiecken enthalten (Abb. 3).
Abb. 3: Dreiteilige Drehsymmetrie
Damit ist die Aussage bewiesen.
Bemerkung:
Ich habe es nicht geschafft, analog visuell zu zeigen, dass durch 3
teilbar ist.