Hans Walser, [20230126]
Tetraederungleichung
Idee und Anregung: Swetlana Nordheimer, Bonn
Verallgemeinerung eines Problems der Dreiecksgeometrie.
Hans Schupp stellte die Aufgabe: Es wird mit drei Würfeln gewürfelt. Die Augen geben Längen von Strecken vor. Mit welcher Wahrscheinlichkeit lässt sich daraus ein Dreieck konstruieren?
Wir verallgemeinern die Aufgabe, indem wir mit Zufallsgeneratoren arbeiten, welche die natürlichen Zahlen von 1 bis N mit gleicher Wahrscheinlichkeit liefern.
Wir arbeiten mit brute force mit folgendem Programm (Abb. 1 für N = 6):
Abb. 1: Programm
Die Tabelle 1 gibt die ersten Werte bezüglich N.
N |
Anzahl |
N3 |
Relative Häufigkeit |
Relative Häufigkeit |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
5 |
8 |
5/8 |
0.6250000000 |
3 |
15 |
27 |
5/9 |
0.5555555556 |
4 |
34 |
64 |
17/32 |
0.5312500000 |
5 |
65 |
125 |
13/25 |
0.5200000000 |
6 |
111 |
216 |
37/72 |
0.5138888889 |
7 |
175 |
343 |
25/49 |
0.5102040816 |
8 |
260 |
512 |
65/128 |
0.5078125000 |
9 |
369 |
729 |
41/81 |
0.5061728395 |
10 |
505 |
1000 |
101/200 |
0.5050000000 |
11 |
671 |
1331 |
61/121 |
0.5041322314 |
12 |
870 |
1728 |
145/288 |
0.5034722222 |
13 |
1105 |
2197 |
85/169 |
0.5029585799 |
14 |
1379 |
2744 |
197/392 |
0.5025510204 |
15 |
1695 |
3375 |
113/225 |
0.5022222222 |
16 |
2056 |
4096 |
257/512 |
0.5019531250 |
17 |
2465 |
4913 |
145/289 |
0.5017301038 |
18 |
2925 |
5832 |
325/648 |
0.5015432099 |
19 |
3439 |
6859 |
181/361 |
0.5013850416 |
20 |
4010 |
8000 |
401/800 |
0.5012500000 |
21 |
4641 |
9261 |
221/441 |
0.5011337868 |
22 |
5335 |
10648 |
485/968 |
0.5010330579 |
23 |
6095 |
12167 |
265/529 |
0.5009451796 |
24 |
6924 |
13824 |
577/1152 |
0.5008680556 |
25 |
7825 |
15625 |
313/625 |
0.5008000000 |
26 |
8801 |
17576 |
677/1352 |
0.5007396450 |
27 |
9855 |
19683 |
365/729 |
0.5006858711 |
28 |
10990 |
21952 |
785/1568 |
0.5006377551 |
29 |
12209 |
24389 |
421/841 |
0.5005945303 |
30 |
13515 |
27000 |
901/1800 |
0.5005555556 |
Tab. 1: Werte
Die Formel geht so (Beweis fehlt):
Relative Häufigkeit = (1 + 1/N^2)/2
Der Grenzwert für wachsendes N ist ½.
Wenn für ein Tripel [a, b, c] die Dreiecksungleichung erfüllt ist, zeichnen wir ein achsenparalleles Würfelchen mit den diametralen Ecken [a – 1, b – 1, c – 1] und [a, b, c]. Die Abbildung 2 zeigt die Situation für N = 6. Die Figur besteht aus einem regelmäßigen Tetraeder, welches einem 6×6×6-Würfel einbeschrieben ist, sowie aus einem unregelmäßigen Tetraeder mit drei paarweise orthogonalen Kanten, welches einen Zwischenraum zwischen dem regelmäßigen Tetraeder und einer Würfelecke ausfüllt.
Abb. 2: Visualisierung
Für wachsendes N nähert sich das Volumen des regelmäßigen Tetraeders einem Drittel des Würfelvolumens und das Volumen des Eckentetraeders einem Sechstel des Würfelvolumens. Die Grenzfigur ist also volumenmäßig halb so groß wie der Würfel. Damit ist der Grenzwert ½ gezeigt. Wir haben hier eine räumliche Visualisierung eines zweidimensionalen Problems.
Es wird mit sechs Zufallsgeneratoren gearbeitet. Die Ergebnisse geben Längen von sechs Strecken a, b, c, d, e, f vor. Mit welcher Wahrscheinlichkeit lässt sich daraus ein (allenfalls unregelmäßiges) Tetraeder gemäß Abbildung 3 bauen? — Die Anordnung der Kanten ist also vorgegeben und kann nicht permutiert werden.
Abb. 3: Anordnung der Tetraederkanten
Es müssen folgende Ungleichungen erfüllt sein:
a+c>e and c+e>a
and e+a>c
and c+b>f
and b+f>c and f+c>b
and b+d>e
and d+e>b and e+b>d
and a+d>f
and d+f>a and f+a>d
Das Programm
wird entsprechend länger (Abb. 4 für N = 4):
Abb. 4:
Programm
Die Tabelle 2 gibt
die ersten Werte in Abhängigkeit von N.
N |
Anzahl |
N6 |
Relative Häufigkeit |
Relative Häufigkeit |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
15 |
64 |
15/64 |
0.2343750000 |
3 |
127 |
729 |
127/729 |
0.1742112483 |
4 |
648 |
4096 |
81/512 |
0.1582031250 |
5 |
2371 |
15625 |
2371/15625 |
0.1517440000 |
6 |
6927 |
46656 |
2309/15552 |
0.1484696502 |
7 |
17245 |
117649 |
17245/117649 |
0.1465800814 |
8 |
38112 |
262144 |
1191/8192 |
0.1453857422 |
9 |
76837 |
531441 |
76837/531441 |
0.1445823713 |
10 |
144015 |
1000000 |
28803/200000 |
0.1440150000 |
Tab. 2: Erste
Werte
Ich habe weder eine
schöne Formel noch einen Grenzwert für große N gefunden.
Für eine
Visualisierung müssten wir im 6-dimensionalen Raum arbeiten.
Bei Permutation der Tetraederkanten kann es weitere Lösungen geben.