Hans Walser, [20250412]

Trapez

1 Worum es geht

Invarianz-Eigenschaft im gleichschenkligen Trapez mit Inkreis.

2 Startfigur

Wir zeichnen eine gleichschenkliges Trapez, welches einen Inkreis hat (Abb. 1).

Abb. 1: Gleichschenkliges Trapez mit Inkreis

3 Invarianten

Wir arbeiten mit den Bezeichnungen der Abbildung 2.

Es gilt:

Das Produkt der beiden Parallelseiten ist das Vierfache des Quadrates des Inkreisradius:

ac = 4r²

Das Produkt der beiden Schenkelabschnitte ist das Quadrat des Inkreisradius:

b₁b₂ = r²

Abb. 2: Bezeichnungen

4 Beweis

Im gleichschenkligen Trapez ergänzen sind gegenüberliegende Winkel auf 180°, also α + γ = 180°.

Die Geraden MB und MC sind Winkelhalbierende. Somit ergänzen sich die Winkel CBM = α/2 und MCB = γ/2 auf 90°. Das Dreieck BCM ist rechtwinklig mit dem rechten Winkel in M. Die Strecke MP = r ist die Hypotenusenhöhe, die Strecken b₁ und b₂ Hypotenusenabschnitte. Aus dem Höhensatz folgt b₁b₂ = r².

Wegen gleichen Tangentenabschnitten an den Inkreis ist a = 2b₁ und c = 2b₂. Daher ist ac = 4b₁b₂ = 4r².

Aus Symmetriegründen ist auch das Dreieck DAM rechtwinklig (Abb. 3).

Abb. 3: Zwei rechtwinklige Dreiecke

5 Visualisierung

Die Eigenschaft ac = 4r² lässt sich mit dem Höhensatz visualisieren wie folgt.

Wir zeichnen neben das Starttrapez ein zweites, welches auf dem Kopf steht (Abb. 4).

Abb. 4: Zweites Trapez

Wir benutzen die Oberkante der Figur als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks (Abb. 5). Die beiden Parallelseiten des Trapezes verwenden wir als Hypotenusenabschnitte für den Höhensatz.

Abb. 5: Rechtwinkliges Dreieck

Gemäß dem Höhensatz ist die die Höhe nun der Durchmesser eines Kreises, der gleich groß ist wie der Inkreis (Abb. 6).

Abb. 6: Gleich große Kreise

Die Abbildung 7 zeigt eine Animation des Sachverhaltes.

Abb. 7: Gleich große Kreise