Hans Walser, [20220103]
Trikolore-Spiralen
Spielerei mit einer (speziellen) Trikolore. Logarithmische Spiralen
Wir beginnen mit einer klassischen Trikolore (Abb. 1a). Das Seitenverhältnis des umschließenden Rechteckes ist:
(1)
Abb. 1: Trikolore
Als Folge des speziellen Seitenverhältnisses (1) ist jedes der drei Farbrechtecke ähnlich zur Gesamt-Trikolore. Wir können also die Trikolore verkleinern mit dem Faktor
(2)
und um 90° (bei uns im Uhrzeigersinn) drehen. Dann passt es auf jedes der drei Farbrechtecke. Wir passen es speziell ins mittlere (weiße) Farbrechteck ein (Abb. 1b).
In das weiße Loch in der Mitte können wir eine zweimal verkleinerte und verdrehte Trikolore einpassen (Abb. 2a).
Abb. 2: Iteration
Weiterführung des Prozesses führt zu zwei ineinandergreifenden Spiralen (Abb. 2b). Die weiße Farbe ist verschwunden. Die Spiralen sind vom logarithmischen Typ.
Die Abbildung 3 gibt eine Animation (ohne Randlinien der Farbrechtecke).
Abb. 3: Spirale
Wir lassen die Mittelpunkte der vertikalen Kanten der Farbrechtecke der Trikolore (Abb. 1a) fest, ziehen aber die untersten und obersten Punkte dieser Kanten mittig zusammen (Abb. 4a). Der Umriss der Figur ist ein Rhombus. Er hat das Diagonalenverhältnis:
(3)
Die Farbrechte links und rechts nehmen eine Pfeilform an. Das mittlere Farbrechteck wird zu einem Rhombus, der zum Umriss ähnlich ist. Wir können also eine verkleinerte und verdrehte Kopie der Gesamtfigur einfügen (Abb. 4b).
Abb. 4: Rhomben
Iteration führt zu zwei Spiralen (Abb. 5). Sie sind wiederum vom logarithmischen Typ.
Abb. 5: Spirale
Die Abbildung 6 gibt eine Animation.
Abb. 6: Spirale
Statt mit Rhomben können wir mit Ellipsen spielen (Abb. 7 und 8). Die Umrissellipse hat das Achsenverhältnis:
(4)
Abb. 7: Ellipsen
Abb. 8: Spirale
Die Abbildung 9 gibt die Animation dazu.
Abb. 9: Animation