Hans Walser, [20070329a], [20131215]

Der Turm zu Babel

0 Worum es geht

Die in Schulbüchern und Lernumgebungen üblichen Zahlenmauern sind Linearkombinationen von Pascal-Dreiecken.

In zyklischen oder periodischen Zahlenmauern entsteht ein Ausgleichseffekt. Bei geeigneter Normierung ergibt sich ein Link zur Wärmeleitungsgleichung.

1 Konventionelle Zahlenmauern

1.1 Grundmuster

Zahlenmauern erscheinen heute oft in Schulbüchern. Im einfachsten Fall werden die Zahlen in den Grundsteinen vorgegeben und es sind die folgenden Lagen so zu berechnen, dass jeder Stein die Summe der Zahlen der beiden Steine erhält, auf denen er sitzt.

Zahlenmauer, Vorgabe und Lösung

Kotrolle mit Excel: Aus technischen Gründen wird die vertikale Richtung umgekehrt und alles mit Linksanschlag dargestellt.

8	1	3	9	1	2
9	4	12	10	3
13	16	22	13
29	38	35
67	73
140

Excel

Um die Nummer eines beliebigen Steines zu berechnen, ist es bei Kenntnis des Pascal-Dreieckes nicht erforderlich, die Nummern der Zwischenlagen zu berechnen. Das geht so:

Rechentrick

Wir setzen beim markierten Stein ein Pascal-Dreieck an und ziehen es bis auf die Basiszeile herunter. Dann multiplizieren wir die Binomialkoeffizienten in der Basiszeile mit den entsprechenden Zahlen in den Grundsteinen der Zahlenmauer und addieren. Das ergibt die Zahl im markierten Stein.

In unserem Beispiel heißt das:

Warum funktioniert das?

1.2 Variationen

Die Vorgaben können auch weiter oben liegen.

Vorgabe weiter oben

In diesem Fall kann mit Variablen gearbeitet werden:

Es sind auch widersprüchliche Vorgaben möglich:

Wo steckt der Hund?

Der Nachteil dieser Zahlenmauern ist, dass jede Lage eine Einheit kürzer ist als die darunter liegende Lage. Die Höhe der Mauer ist beschränkt durch die Anzahl Steine in der Basis.

Wir können allerdings auch vorkragend arbeiten, allenfalls stützen wir mit „Nullsteinen“. Der vorkragende Teil hat keinen Einfluss auf die Steine im Innern.

Vorkragend

Kontrolle mit Excel:

0	0	0	0	0	8	1	3	9	1	2
0	0	0	0	8	9	4	12	10	3	2
0	0	0	8	17	13	16	22	13	5	2
0	0	8	25	30	29	38	35	18	7	2
0	8	33	55	59	67	73	53	25	9	2
8	41	88	114	126	140	126	78	34	11	2

Kontrolle

1.3 Link mit Pascal-Dreieck

Im folgenden rechnen wir von oben herunter, wie wir das von den Pascal-Dreiecken eher gewöhnt sind. Und machen gleich eine allgemeine Analyse an einem einfachen Beispiel:

Analyse

Die Koeffizienten von a bilden ein Pascal-Dreieck, ebenso die Koeffizienten von b und von c. Andersherum formuliert: Wir haben eine Linearkombination von drei Pascal-Dreiecken mit den Koeffizienten a, b, c. Damit lässt sich bei Kenntnis der Zahlen in der Startreihe jede beliebige andere Zahl direkt berechnen.

Beispiel:

Welche Zahl hat der rote Stein?

Für das markierte Feld erhalten wir ohne Zwischenrechnung:

Die „übersprungenen Zwischenrechnungen“ sind bereits im Pascal-Dreieck investiert.

1.4 Maximum und Minimum

Aus: [Dunbar/Leitch 2007]. Wir setzen in der untersten Reihe drei verschiedene einstellige Zahlen. In jedes obere Feld kommt jeweils die Summer der beiden Zahlen, auf denen das Feld sitzt. Was ist die Differenz zwischen der größten und der kleinsten Zahl, die im obersten Feld möglich sind?

Zahlenmauer

Bearbeitung

Die Maximallösung enthält in der Basis die Zahlen 7, 8, 9 mit der größten Zahl 9 in der Mitte. Das ergibt 33 im obersten Feld. Die Minimallösung enthält in der Basis die Zahlen 1, 2, 3 mit der kleinsten Zahl 1 in der Mitte. Das ergibt 7 im obersten Feld. Die gesuchte Differenz ist 26.

Maximum und Minimum

2 Rundmauern

Wir denken uns die Mauer eines runden Turmes, etwa des Turmes, in welchem Rapunzel auf den Prinzen wartete.

Rundturm

Da besteht jede Lage aus gleich vielen Steinen und wir können die Mauer beliebig hoch bauen. Wir haben eine zyklische (periodische) Zahlenmauer in Zylinderform.

Es gibt verschiedene Darstellungsarten.

2.1 Darstellung

2.1.1 Echter Zylinder

Wir arbeiten auf einem Zylindermantel aus Papier, das wir um eine geeignete Dose herumgeklebt haben. Das spielt im Raum und lässt sich nicht auf meinen Bildschirm bringen. Die reale Umgebung ist dreidimensional, die Lernumgebung zweidimensional. Dimensionsverlust.

2.1.2 Projizierter Zylinder

Wir zeichnen in der Ebene, aber radial. Der Basiskreis ist dann entweder der innerste oder der äußerste Kreis.

Das Beispiel zeigt die Basiszahlen innen; es wurde dann nach außen gearbeitet.

Radiale Darstellung

Sinnvoll ist es, das Blatt beim Arbeiten zu drehen.

Blatt dreht mit

2.1.3 Abgewickelter Zylinder

Das Beispiel zeigt Vorgabe und Lösung. Die Rechnung geht von oben nach unten.

Abgewickelter Zylinder

Der linke und der rechte Rand müssen identifiziert werden, wie die Mathematiker sagen. Passt ja auch schön verzahnt ineinander.

Wenn wir die versetzten Zwischenlagen weglassen, erkennen wir das durch die Pfeile angedeutete Rekursionsmuster:

Überspringen einer Lage

Wir lassen nun die Zwischenlagen definitiv weg und nummerieren die restlichen Zahlen wie bei einer Matrix mit . Dabei sein t der Zeilenindex; sind die vorgegebenen Basiselemente, und in sei m die Anzahl der auf den Basissteinen aufgebauten (Doppel-)Lagen. Der Spaltenindex x mit läuft um den Turm herum, n ist der Umfang des Turmes. In Formeln ist der Spaltenindex x modulo n zu verstehen.

Es gilt die Rekursion:

Damit kann bequem mit Excel gearbeitet werden:

8	1	3	9	1	2
19	13	16	22	13	13
64	61	67	73	61	58

Berechnung mit Excel

2.2 Der Turmbau zu Babel

Wir können nun beliebig in die Höhe — oder bei Excel in die Tiefe — bauen.

8	1	3	9	1	2
19	13	16	22	13	13
64	61	67	73	61	58
247	253	268	274	253	241
988	1021	1063	1069	1021	982
3979	4093	4216	4222	4093	3973
16024	16381	16747	16753	16381	16018
64447	65533	66628	66634	65533	64441
258868	262141	265423	265429	262141	258862
1038739	1048573	1058416	1058422	1048573	1038733

Der Turmbau zu Babel

Uff, gibt das aber große Zahlen. Klar, die Quersumme vervierfacht sich bei jedem Schritt, da jede Zahl in der nächsten Zeile vier Mal erscheint. Da müssen auch die einzelnen Zahlen im Prinzip exponentiell wachsen.

Immerhin stellen wir fest, dass sich die Zahlen in der letzten angegebene Zeile relativ viel weniger von einander unterscheiden als die Basiszahlen. Wir haben einen relativen Ausgleichseffekt.

2.3 Pascal-Zylinder

Wir haben gesehen, dass die gewöhnlichen Zahlenmauern Linearkombinationen von Pascal-Dreiecken sind.

Im folgenden ein Beispiel eines reinen Pascal-Zylinders mit dem Umfang ; es werden nur die Zeilen mit geradzahligem Zeilenindex dargestellt, also . An der Spitze steht , links und rechts davon stehen Nullen. Zunächst sieht es ganz manierlich aus, und wir erkennen die Zeilen des Pascal-Dreieckes.

Wenn wir aber weiterfahren, kommt der Rundmauereffekt zum Tragen.

0	0	0	0	1	0	0	0	0
0	0	0	1	2	1	0	0	0
0	0	1	4	6	4	1	0	0
0	1	6	15	20	15	6	1	0
1	8	28	56	70	56	28	8	1
11	45	120	210	252	210	120	45	11
78	221	495	792	924	792	495	221	78
455	1015	2003	3003	3432	3003	2003	1015	455
2380	4488	8024	11441	12870	11441	8024	4488	2380
11628	19380	31977	43776	48622	43776	31977	19380	11628

Pascal-Zylinder; nur jede zweite Zeile

3 Mittelbildung

3.1 Arithmetisches Mittel

Um das exponentielle Wachstum der Zahlen zu kompensieren, gehen wir folgendermaßen vor: In der ursprünglichen Mauer (mit den versetzten Lagen) erhält jeder Stein nicht die Summe, sondern den Mittelwert der beiden Zahlen, auf denen er sitzt. Es wird lokal ausgemittelt. In der folgenden Abbildung wird von unten nach oben gearbeitet.

Mittelbildung

3.2 Gewichtetes Mittel

Wenn wir die versetzten Lagen weglassen, bleibt für die restlichen Zahlen die Rekursion:

Wir haben ein gewichtetes Mittel: die mittlere Zahl hat doppeltes Gewicht im Vergleich zu den Nachbarzahlen.

Der Viertel kompensiert das Vervierfachen der Quersumme. Die Quersumme bleibt konstant.

Auf diese Weise erhalten wir zwar Brüche, aber wir bleiben bei den Leuten. Und wie!

3.2.1 Tabelle

Mit unseren Startwerten ergibt sich:

8	1	3	9	1	2
4.7500	3.2500	4.0000	5.5000	3.2500	3.2500
4.0000	3.8125	4.1875	4.5625	3.8125	3.6250
3.8594	3.9531	4.1875	4.2813	3.9531	3.7656
3.8594	3.9883	4.1523	4.1758	3.9883	3.8359
3.8857	3.9971	4.1172	4.1230	3.9971	3.8799
3.9121	3.9993	4.0886	4.0901	3.9993	3.9106
3.9335	3.9998	4.0667	4.0670	3.9998	3.9332
3.9500	4.0000	4.0500	4.0501	4.0000	3.9499
3.9625	4.0000	4.0375	4.0376	4.0000	3.9625
3.9718	4.0000	4.0282	4.0282	4.0000	3.9718
3.9789	4.0000	4.0211	4.0211	4.0000	3.9789
3.9842	4.0000	4.0158	4.0158	4.0000	3.9842
3.9881	4.0000	4.0119	4.0119	4.0000	3.9881
3.9911	4.0000	4.0089	4.0089	4.0000	3.9911
3.9933	4.0000	4.0067	4.0067	4.0000	3.9933
3.9950	4.0000	4.0050	4.0050	4.0000	3.9950
3.9962	4.0000	4.0038	4.0038	4.0000	3.9962
3.9972	4.0000	4.0028	4.0028	4.0000	3.9972
3.9979	4.0000	4.0021	4.0021	4.0000	3.9979
3.9984	4.0000	4.0016	4.0016	4.0000	3.9984
3.9988	4.0000	4.0012	4.0012	4.0000	3.9988
3.9991	4.0000	4.0009	4.0009	4.0000	3.9991
3.9993	4.0000	4.0007	4.0007	4.0000	3.9993
3.9995	4.0000	4.0005	4.0005	4.0000	3.9995
3.9996	4.0000	4.0004	4.0004	4.0000	3.9996
3.9997	4.0000	4.0003	4.0003	4.0000	3.9997
3.9998	4.0000	4.0002	4.0002	4.0000	3.9998
3.9998	4.0000	4.0002	4.0002	4.0000	3.9998
3.9999	4.0000	4.0001	4.0001	4.0000	3.9999
3.9999	4.0000	4.0001	4.0001	4.0000	3.9999
3.9999	4.0000	4.0001	4.0001	4.0000	3.9999
3.9999	4.0000	4.0001	4.0001	4.0000	3.9999

Lokale Mittelbildung — globale Mittelbildung

Die Zahlen nähern sich alle der Zahl 4; das ist aber das arithmetische Mittel der sechs Startzahlen. Auf der Höhe von Rapunzel sind die Steine sehr ausgeglichen.

Das gilt allgemein für n Startzahlen. Aus den lokalen Mitteln ergibt sich ein globales Mittel. Warum?

3.2.2 Grafische Darstellung

Wir ordnen der Zahl den Punkt mit den kartesischen Koordinaten zu und verbinden für jeden t-Wert die Punkte zu einem Polygonzug. Den letzten Punkt wiederholen wir am Anfang, um die Periodizität sichtbar zu machen.

Im folgenden Beispiel ist das Polygon für (also für die Basiszahlen) schwarz eingezeichnet, dann sind (rot) sukzessive die Polygone für angegeben.

Wir sehen, wie die Polygone immer flacher werden. Die Spitzen werden abgebaut und die Täler aufgefüllt.

Es wird immer flacher

3.2.3 Zyklische grafische Darstellung

Die „runden“ Mauern lassen sich sachgerecht wie folgt darstellen: Wir ordnen in einem polaren Koordinatensystem der Zahl den Punkt mit dem Polarabstand und dem Polarwinkel zu und verbinden für jeden t-Wert die Punkte zu einem geschlossenen Polygonzug.

Im folgenden Beispiel ist das Polygon für (also für die Ausgangszahlen) schwarz eingezeichnet, dann sind rot die Polygone für angegeben.

Wir sehen, wie die Polygone sich immer mehr einem regelmäßigen n-Eck annähern.

Der Drang zum regelmäßigen n-Eck

4 Zwischenspiel – Lernen auf Vorrat

Liebe Kinder, was ihr heute lernt, werdet ihr brauchen, wenn ihr dann groß seid.

Lehrer Lämpel

4.1 Ableitung

In der Schule wird die Ableitung einer Funktion an der Stelle so definiert:

Das wird standardmäßig wie folgt illustriert:

Ableitung

Diese Definition ist asymmetrisch. Eine symmetrische Definition könnte so aussehen:

Wir nähern uns von beiden Seiten der Stelle . Illustration dazu:

Symmetrisches Vorgehen

Es ist dann:

Für die zweite Ableitung erhalten wir daraus:

Insbesondere ist für :

Was soll das alles?

4.2 Eine Differenzialgleichung

Wir fassen die oben definierten Zahlen als Stützstellen einer Funktion von zwei Variablen auf. Es ist dann und .

Für die partielle Ableitung von nach t verwenden wir die klassische Definition:

Für erhalten wir:

Für die zweite partielle Ableitung von nach x verwenden wir die symmetrische Version:

Für erhalten wir:

Und nun: aus der Rekursion

erhalten wir die Beziehung:

Damit ist (man beachte die Vorzeichen):

Wegen erhalten wird schließlich approximativ die Differenzialgleichung:

Das ist der eindimensionale Fall der Wärmeleitungsgleichung. Diese partielle Differenzialgleichung hat allgemein die Form

mit positivem und beschreibt verschiedene Vorgänge in Natur und Technik: Wärmeleitung, Diffusion, Erosion.

Und eben auch das Verhalten bei runden Zahlenmauern.

5 Erosion

Alle Täler sollen erhöht werden, und alle Berge und Hügel sollen erniedrigt werden,

und was uneben ist, soll gerade, und was hügelig ist, soll eben werden.

Der Prophet Jesaja. 40.4

Wenn wir drei bezüglich x aufeinander folgende Zahlen haben, bei denen die mittlere Zahl größer ist als der Mittelwert der beiden links und rechts benachbarten Zahlen und , dann „steht die Zahl vor“. Wir haben einen Berg oder zumindest eine nach außen gerichtete Krümmung.

Mittlere Zahl steht vor

In diesem Fall ist:

Es ist also und wegen der Differenzialgleichung ist auch negativ, das heißt, an der Stelle x nehmen die Zahlen ab. Alles was vorsteht wird abgebaut.

Wenn umgekehrt bei drei bezüglich x aufeinander folgenden Zahlen die mittlere kleiner ist als der Mittelwert der beiden links und rechts benachbarten Zahlen, haben wir ein Tal oder eine nach innen gerichtete Delle. Auffüllung.

Literatur

[Dunbar/Leitch 2007] Dunbar, Steven R. and Leitch, Bonnie: The MAA Goes To Middle School (and How You Can Too). FOCUS, The Newsletter of the Mathematical Association of America. February 2007, Vol. 27 Number 2. p 24-26. ISSN: 0731-2040