Hans Walser, [20240423]
Überlagerung
Anregung: Hans Humenberger, Uni Wien
Spielerei im Dreieck. Optimierung. Überlagerung. Zerlegungen. Trickfilm
Einem spitzwinkligen Dreieck kann auf drei Arten ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt einbeschrieben werden (Abb. 1). Jedes Rechteck hat zwei Ecken auf einer Dreieckseite und die beiden anderen je im Mittelpunkt der beiden anderen Dreieckseiten.
Abb. 1.1: Optimales Rechteck
Abb. 1.2: Optimales Rechteck
Abb. 1.3: Optimales Rechteck
Welchen Flächenanteil des Dreiecks belegen die optimalen Rechtecke?
Die Abbildung 2 zeigt die Überlagerung der drei Rechtecke.
Abb. 2:
Überlagerung
Welche
Flächenanteile des Dreiecks sind gar nicht bedeckt, einfach bedeckt, doppelt
bedeckt oder dreifach bedeckt?
Zur Bearbeitung der
oben gestellten Fragen zerlegen wir das Dreieck gemäß Abbildung 3. Die
Zerlegung geht so: Zunächst wird durch die Verbindungen der Kantenmitten das
Dreieck in vier kongruente Dreiecke zerlegt. Jedes dieser Dreiecke zerlegen wir
mit seinen Höhen in sechs Teildreiecke. Wir haben also sechsmal vier
Teildreiecke. Die jeweils vier kongruenten Teildreiecke tragen dieselbe Farbe.
Farben: rot, grün, blau, himmelblau, magenta, gelb.
Abb. 3:
Zerlegung
Diese Zerlegung kann
auch durch Falten erreicht werden (Abb. 4). Für den Faltprozess wird aus
didaktischen Gründen angenommen, das Papierdreieck sei auf der Vorderseite gelb
und auf der Rückseite himmelblau.
Abb. 4: Falten
und Färben
Die Abbildung 5
zeigt das Ergebnis dieses Falt- und Färbe-Prozesses.
Abb. 5: Mit
Falten und Färben
Ein Vergleich mit
der Zerlegung der Abbildung 3 zeigt, dass einige Faltlinien zu lang sind. Dies
liegt am Faltprozess, eine Faltlinie geht immer übers ganze Papier. Dasselbe
Problem haben wir ja auch beim Zerlegen einer Platte (zum Beispiel Spanplatte)
mit einer Kreissäge. Wegen der Plattendicke ist es nicht möglich, an einem bestimmten
Punkt den Schnitt zu beenden. Das Problem ist aber mit einer Bandsäge oder
einer Stichsäge lösbar, oder wie in der guten alten Zeit mit einer Zimmermannssäge
oder einem Fuchsschwanz.
In jedem optimalen
Rechtecke kommt jede Farbe genau zweimal vor (Abb. 6). Die Rechtecke belegen
also je die Hälfte der Dreiecksfläche.
Abb. 6.1: Optimales
Rechteck
Abb. 6.2:
Optimales Rechteck
Abb. 6.3:
Optimales Rechteck
Der durch die
optimalen Rechtecke freigelassene Bereich ist in der Abbildung 7.0 dargestellt.
Der Rest ist abgedunkelt. Im nicht abgedunkelten Teil kommt jede Farbe genau
einmal vor. Der nicht bedeckte Anteil macht also einen Viertel der
Dreiecksfläche aus.
Abb. 7.0: Nicht
bedeckter Teil
Die Abbildung 7.1
zeigt den einfach bedeckten Teil. Auch dieser macht einen Viertel der
Dreiecksfläche aus.
Abb. 7.1:
Einfach bedeckter Teil
Auch der doppelt
bedeckte Teil (Abb. 7.2) macht einen Viertel der Dreiecksfläche aus.
Abb. 7.2:
Doppelt bedeckter Teil
Dreifach bedeckt ist
das Kantenmittendreieck (Abb. 7.3). Dieses macht ebenfalls einen Viertel der
Dreiecksfläche aus.
Abb. 7.3:
Dreifach bedeckter Teil
Das
Feuerbach-Sechseck (Abb. 8) besteht aus den mindestens zweifach bedeckten
Teilen der Abbildung 2. Im Feuerbach-Sechseck kommt jede Farbe zweimal vor, wie
bei den optimalen Rechtecken. Der Flächenanteil des Feuerbach-Sechseckes ist somit
die Hälfte der Dreiecksfläche.
Abb. 8: Feuerbach-Sechseck
Das
Feuerbach-Sechseck ist ein punktsymmetrisches Sehnensechseck (Abb. 9). Sein
Umkreis ist der Feuerbach-Kreis. Daher der Name Feuerbach-Sechseck.
Abb. 9:
Feuerbach-Kreis
Im
Feuerbach-Sechseck kann das Bild eines Quaders erkannt werden (Abb. 10). Jede
der drei sichtbaren Seiten des Quaders besteht aus zweimal zwei Farben.
Abb.
10: Bild eines Quaders
Literatur
Hans Humenberger: Paper Folding and Reasoning. To appear in:
Mathematics in School, Mathematical Association, UK