Hans Walser, [20190519], [20191215]
Umkreis bei regelmŠ§igen Vielecken
Invarianz von FlŠchensummen im Kontext von regelmŠ§igen Vielecken und deren Umkreis.
SonderfŠlle von †berlegungen von Al-Sijzi.
Auf dem Umkreis eines gleichseitigen Dreiecks wŠhlen wir einen beliebigen Punkt (rot in Abb. 1).
Abb. 1: Umkreis mit Punkt
Nun zeichnen wir der Reihe nach drei gleichseitige Dreiecke mit einer Ecke im roten Punkt und einer zweiten Ecke in einem der drei Eckpunkte des gegebenen gleichseitigen Dreieckes (blau in Abb. 2).
Abb. 2: EinfŸgen von gleichseitigen Dreiecken
Wie gro§ ist die FlŠchensumme der drei blauen Dreiecke?
Die FlŠchensumme ist doppelt so gro§ wie der FlŠcheninhalt des gegebenen gleichseitigen Dreieckes. Die Abbildung 3 zeigt einen Zerlegungsbeweis dazu.
Abb. 3: Zerlegungsbeweis
Die FlŠchensumme ist also unabhŠngig von der Wahl des roten Punktes auf dem Umkreis. Wir haben eine Invarianzeigenschaft.
Die Abbildung 4 zeigt verschiedene Positionen des roten Punktes. Die FlŠchensumme ist immer gleich gro§. Wenn der rote Punkt in einer Ecke des gegebenen Dreieckes liegt, verschwindet (wohin?) eines der drei blauen Dreiecke. Die beiden Ÿbrigbleibenden sind gleich gro§ wie das gegebene Dreieck.
Abb. 4: Invariante FlŠchensumme
Auf dem Umkreis eines Quadrates wŠhlen wir einen beliebigen Punkt (rot in Abb. 5).
Abb. 5: Umkreis mit Punkt
Nun zeichnen wir der Reihe nach vier Quadrate mit einer Ecke im roten Punkt und einer anschlie§enden Ecke in einem der vier Eckpunkte des gegebenen Quadrates (blau in Abb. 6).
Abb. 6: EinfŸgen von Quadraten
Wie gro§ ist die FlŠchensumme der vier blauen Quadrate?
Die FlŠchensumme ist viermal so gro§ wie der FlŠcheninhalt des gegebenen Quadrates.
FŸr den Nachweis verwenden wir zunŠchst nur das erste und das dritte blaue Quadrat (Abb. 7).
Abb. 7: Beweissequenz
Das nach innen gezeichnete kleine blaue Quadrat verschieben wir nach au§en und erhalten so die von der Schule her vertraute Pythagoras-Situation mit einem rechtwinkligen Dreieck. Der Umkreis des gegebenen Quadrates ist der Thaleskreis. Das zugehšrige Hypotenusenquadrat ist flŠchenmŠ§ig doppelt so gro§ wie das gegebene Quadrat.
Entsprechend sind das zweite und das vierte blaue Quadrat zusammen gleich gro§ wie das gegebene Quadrat.
Daher ist die FlŠchensumme der vier blauen Quadrate viermal so gro§ wie der FlŠcheninhalt des gegebenen Quadrates.
Die FlŠchensumme ist unabhŠngig von der Wahl des roten Punktes auf dem Umkreis. Wir haben wieder eine Invariante.
Die Abbildung 8 illustriert den Sonderfall mit dem roten Punkt in einer Quadratecke.
Abb. 8: Sonderfall
Wir erhalten fŸr jedes regelmŠ§ige n-Eck eine invariante FlŠchensumme. FŸr den Beweis siehe [1]. Allerdings ist diese FlŠchensumme mit einer Ausnahme nicht mehr ein ganzzahliges Vielfaches des FlŠcheninhaltes des gegebenen regelmŠ§igen n-Eckes.
Die Tabelle 1 gibt zu gegebenem n die Vielfachheit bezŸglich des n-Eckes.
n |
Vielfachheit |
3 |
2 |
4 |
4 |
5 |
7.236067979 |
6 |
12 |
7 |
18.59179387 |
8 |
27.31370848 |
9 |
38.46884478 |
10 |
52.36067978 |
11 |
69.29288060 |
12 |
89.56921938 |
13 |
113.4935301 |
14 |
141.3696854 |
15 |
173.5015834 |
16 |
210.1931388 |
Tab. 1: Vielfachheit
Der Fall n = 6 kann analog zum Fall n = 4 bewiesen werden.
Die Abbildung 9 gibt einen Sonderfall (roter Punkt in Ecke) fŸr n = 13.
Abb. 9: Im 13-Eck
In der Abbildung 10 laufen Siebenecke auf dem Umkreis eines Siebenecks.
Abb. 10: Siebenecke
Weblinks
[1] Hans Walser: Al-Sijzi
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Al-Sijzi/index.html