1 Worum es geht

Zahlenspiel

Grenzwerte

Ein Paradoxon

2 Spielvorgang

Wir haben zwei Messbecher A und B, welche je einen Liter fassen. Wir gießen in die beiden Becher insgesamt einen Liter Wasser ein, zum Beispiel 0.4 Liter in den Becher A und 0.6 Liter in den Becher B.

Nun gießen wir die Hälfte des Inhaltes vom Becher A in den Becher B. Dann die Hälfte des nunmehrigen Inhaltes des Bechers B in den Becher A. Dann wiederum die Hälfte des jetzigen Inhaltes des Bechers A in den Becher B. Und so weiter hin und her. Wie üblich nimmt man an, dass nichts verschüttet wird.

Was geschieht?

Die Tabelle 1 dokumentiert die ersten 10 Umgießschritte.

Umgießschritt	Inhalt A	Inhalt B
0	.4	.6	Startsituation
1	.2000000000	.8000000000	Umgießen der Hälfte von A nach B
2	.6000000000	.4000000000	Umgießen der Hälfte von B nach A
3	.3000000000	.7000000000	Umgießen der Hälfte von A nach B
4	.6500000000	.3500000000	Umgießen der Hälfte von B nach A
5	.3250000000	.6750000000	Umgießen der Hälfte von A nach B
6	.6625000000	.3375000000	Umgießen der Hälfte von B nach A
7	.3312500000	.6687500000	Umgießen der Hälfte von A nach B
8	.6656250000	.3343750000	Umgießen der Hälfte von B nach A
9	.3328125000	.6671875000	Umgießen der Hälfte von A nach B
10	.6664062500	.3335937500	Umgießen der Hälfte von B nach A

Tab. 1: Die ersten Umgießschritte

Die Abbildung 1 illustriert den Sachverhalt. Die Inhalte des Messbechers A sind als rote, jene des Messbechers B als blaue Balkendiagramme angegeben.

Ein Bild, das Screenshot enthält.

Automatisch generierte Beschreibung

Abb. 1: Die ersten 10 Umgießschritte

3 Kommentare und Vermutungen

3.1 Falsche Vermutung

Vom ersten Umgießschritt an ist es immer so, dass der Reichere die Hälfte an den Ärmeren abgibt. Erinnert an den heiligen Martin von Tours.

Ich glaubte zunächst, dass sich durch das fortlaufende Umgießen die beiden Teile der Mitte ½ annähern. Diese Vermutung war falsch.

3.2 Grenzwerte

Wir vermuten Grenzwerte.

Für den Inhalt des Messbechers A vermuten wir, dass die Inhalte nach einer geraden Anzahl von Umgießschritten gegen ⅔ streben, nach einer ungeraden Anzahl von Umgießschritten nach ⅓. Für die Inhalte des Messbechers B entsprechend umgekehrt.

4 Triviales Beispiel

Mit den Startwerten ⅔ für A und entsprechend ⅓ für B erhalten wir die Werte der Tabelle 2.

Umgießschritt	Inhalt A	Inhalt B
0	.6666666667	.3333333333	Startsituation
1	.3333333334	.6666666666	Umgießen der Hälfte von A nach B
2	.6666666667	.3333333333	Umgießen der Hälfte von B nach A
3	.3333333333	.6666666667	Umgießen der Hälfte von A nach B
4	.6666666667	.3333333333	Umgießen der Hälfte von B nach A
5	.3333333333	.6666666667	Umgießen der Hälfte von A nach B
6	.6666666667	.3333333333	Umgießen der Hälfte von B nach A
7	.3333333333	.6666666667	Umgießen der Hälfte von A nach B
8	.6666666667	.3333333333	Umgießen der Hälfte von B nach A
9	.3333333333	.6666666667	Umgießen der Hälfte von A nach B
10	.6666666667	.3333333333	Umgießen der Hälfte von B nach A

Tab. 2: Spezielle Startwerte

Die Zahlen pendeln zwischen ⅔ und ⅓. Das mittlere Drittel wird hin- und hergeschoben. Wir haben eine stabile Situation.

5 Relatives Vorgehen

Für den Beweis der Grenzwertvermutungen berechnen wir die Abweichungen von der stabilen Situation (Tab. 3).

Umgießschritt	Inhalt A	Abweichung	Inhalt B	Abweichung
0	.4	–.2666666667	.6	.2666666667	Startsituation
1	.2000000000	–.1333333333	.8000000000	.1333333333	Umgießen der Hälfte von A nach B
2	.6000000000	–.0666666667	.4000000000	.0666666667	Umgießen der Hälfte von B nach A
3	.3000000000	–.0333333333	.7000000000	.0333333333	Umgießen der Hälfte von A nach B
4	.6500000000	–.0166666667	.3500000000	.0166666667	Umgießen der Hälfte von B nach A
5	.3250000000	–.0083333333	.6750000000	.0083333333	Umgießen der Hälfte von A nach B
6	.6625000000	–.0041666667	.3375000000	.0041666667	Umgießen der Hälfte von B nach A
7	.3312500000	–.0020833333	.6687500000	.0020833333	Umgießen der Hälfte von A nach B
8	.6656250000	–.0010416667	.3343750000	.0010416667	Umgießen der Hälfte von B nach A
9	.3328125000	–.0005208333	.6671875000	.0005208333	Umgießen der Hälfte von A nach B
10	.6664062500	–.0002604167	.3335937500	.0002604167	Umgießen der Hälfte von B nach A

Tab. 3: Abweichungen von der stabilen Situation

Die Abweichungen halbieren sich bei jedem Umgießschritt. Sie bilden eine Nullfolge.

Dies kann auch für andere Startwerte und formal gezeigt werden.

6 Umpolen

In der Tabelle 4 wurde die Startsituation gegenüber der stabilen Situation vertauscht. Trotzdem ergeben sich die richtigen Grenzwerte.

Umgießschritt	Inhalt A	Inhalt B
0	.3333333333	.6666666667	Startsituation
1	.1666666666	.8333333334	Umgießen der Hälfte von A nach B
2	.5833333333	.4166666667	Umgießen der Hälfte von B nach A
3	.2916666667	.7083333333	Umgießen der Hälfte von A nach B
4	.6458333333	.3541666667	Umgießen der Hälfte von B nach A
5	.3229166667	.6770833333	Umgießen der Hälfte von A nach B
6	.6614583333	.3385416667	Umgießen der Hälfte von B nach A
7	.3307291667	.6692708333	Umgießen der Hälfte von A nach B
8	.6653645833	.3346354167	Umgießen der Hälfte von B nach A
9	.3326822917	.6673177083	Umgießen der Hälfte von A nach B
10	.6663411459	.3336588541	Umgießen der Hälfte von B nach A
11	.3331705729	.6668294271	Umgießen der Hälfte von A nach B
12	.6665852865	.3334147135	Umgießen der Hälfte von B nach A
13	.3332926433	.6667073567	Umgießen der Hälfte von A nach B
14	.6666463217	.3333536783	Umgießen der Hälfte von B nach A
15	.3333231609	.6666768391	Umgießen der Hälfte von A nach B
16	.6666615805	.3333384195	Umgießen der Hälfte von B nach A
17	.3333307903	.6666692097	Umgießen der Hälfte von A nach B
18	.6666653951	.3333346049	Umgießen der Hälfte von B nach A
19	.3333326975	.6666673025	Umgießen der Hälfte von A nach B
20	.6666663487	.3333336513	Umgießen der Hälfte von B nach A

Tab. 4: Vertauschte Startsituation

7 Andere Teilfaktoren

7.1 Ein Drittel

Wir verändern das Umgießverfahren: Wir gießen einen Drittel des Inhaltes vom Becher A in den Becher B. Dann einen Drittel des nunmehrigen Inhaltes des Bechers B in den Becher A. Dann wiederum einen Drittel des jetzigen Inhaltes des Bechers A in den Becher B.

Die Tabelle 5 zeigt das Ergebnis.

Umgießschritt	Inhalt A	Inhalt B
0	.4	.6	Startsituation
1	.2666666667	.7333333333	Umgießen eines Drittels von A nach B
2	.5111111111	.4888888889	Umgießen eines Drittels von B nach A
3	.3407407407	.6592592593	Umgießen eines Drittels von A nach B
4	.5604938271	.4395061729	Umgießen eines Drittels von B nach A
5	.3736625514	.6263374486	Umgießen eines Drittels von A nach B
6	.5824417009	.4175582991	Umgießen eines Drittels von B nach A
7	.3882944673	.6117055327	Umgießen eines Drittels von A nach B
8	.5921963115	.4078036885	Umgießen eines Drittels von B nach A
9	.3947975410	.6052024590	Umgießen eines Drittels von A nach B
10	.5965316940	.4034683060	Umgießen eines Drittels von B nach A
11	.3976877960	.6023122040	Umgießen eines Drittels von A nach B
12	.5984585307	.4015414693	Umgießen eines Drittels von B nach A
13	.3989723538	.6010276462	Umgießen eines Drittels von A nach B
14	.5993149025	.4006850975	Umgießen eines Drittels von B nach A
15	.3995432683	.6004567317	Umgießen eines Drittels von A nach B
16	.5996955122	.4003044878	Umgießen eines Drittels von B nach A
17	.3997970081	.6002029919	Umgießen eines Drittels von A nach B
18	.5998646721	.4001353279	Umgießen eines Drittels von B nach A
19	.3999097814	.6000902186	Umgießen eines Drittels von A nach B
20	.5999398543	.4000601457	Umgießen eines Drittels von B nach A

Tab. 5: Es wird ein Drittel umgegossen

Die Inhalte des Messbechers A streben nach einer geraden Anzahl von Umgießschritten gegen ⅗, nach einer ungeraden Anzahl von Umgießschritten gegen ⅖.

Mit den entsprechenden Grenzwerten als Startwerten ergibt sich die stabile Situation (Tab. 6).

Umgießschritt	Inhalt A	Inhalt B
0	.6	.4	Startsituation
1	.4000000000	.6000000000	Umgießen eines Drittels von A nach B
2	.6000000000	.4000000000	Umgießen eines Drittels von B nach A
3	.4000000000	.6000000000	Umgießen eines Drittels von A nach B
4	.6000000000	.4000000000	Umgießen eines Drittels von B nach A
5	.4000000000	.6000000000	Umgießen eines Drittels von A nach B
6	.6000000000	.4000000000	Umgießen eines Drittels von B nach A
7	.4000000000	.6000000000	Umgießen eines Drittels von A nach B
8	.6000000000	.4000000000	Umgießen eines Drittels von B nach A
9	.4000000000	.6000000000	Umgießen eines Drittels von A nach B
10	.6000000000	.4000000000	Umgießen eines Drittels von B nach A

Tab. 6: Stabile Situation

7.2 Allgemein

Es sei q der Anteil, der jeweils umgegossen wird. Dann gilt: die Inhalte des Messbechers A streben nach einer geraden Anzahl von Umgießschritten gegen 1/(2 – q), nach einer ungeraden Anzahl von Umgießschritten gegen (1 – q)/(2 – q).

7.3 Paradoxon

Wenn wir also eine „gerechte“ Verteilung (halbe-halbe) anstreben wollen, müsste q = 0 sein. Ein interessantes Paradoxon.

Die Tabelle 7 zeigt ausschnittsweise die Situation für q = 1/100 und den Startwerten 0.4 beziehungsweise 0.6.

Umgießschritt	Inhalt A	Inhalt B
9991	.4997544214	.5002455786	Umgießen eines Hundertstels von A nach B
9992	.5002546670	.4997453330	Umgießen eines Hundertstels von B nach A
9993	.4997544123	.5002455877	Umgießen eines Hundertstels von A nach B
9994	.5002546579	.4997453421	Umgießen eines Hundertstels von B nach A
9995	.4997544032	.5002455968	Umgießen eines Hundertstels von A nach B
9996	.5002546488	.4997453512	Umgießen eines Hundertstels von B nach A
9997	.4997543942	.5002456058	Umgießen eines Hundertstels von A nach B
9998	.5002546398	.4997453602	Umgießen eines Hundertstels von B nach A
9999	.4997543852	.5002456148	Umgießen eines Hundertstels von A nach B
10000	.5002546308	.4997453692	Umgießen eines Hundertstels von B nach A

Tab. 7: Umgießen eines Hundertstels