1 Worum geht es?

Variante zum Satz von Varignon. Ähnliche Rhomben

2 Der Satz von Varignon

Der Satz von Varignon besagt, dass das Seitenmittenviereck eines beliebigen Viereckes ein Parallelogramm ist (Abb. 1).

Abb. 1: Parallelogramm von Varignon

Wir bauen ein Viereck aus ähnlichen Rhomben (Abb. 2).

Abb. 2: Viereck aus Rhomben

Wir können auf zwei Arten ein Parallelogramm einpassen (Abb. 3).

Abb. 3.1: Erstes Parallelogramm

Abb. 3.2: Zweites Parallelogramm

Rechnerische Beweise.

Die Ähnlichkeit der Rhomben wird durch das Diagonalenverhältnis v definiert.

Abb. 4.1: Bezeichnungen für die erste Lösung

Wir setzen:

(1)

Damit erhalten wir für die Seitenlängen des eingepassten Viereckes:

(2)

Je zwei gegenüberliegende Seiten sind gleich lang. Die erste Lösung (Abb. 4.1) also ist ein Parallelogramm.

Abb. 4.2: Zweite Lösung

Für die zweite Lösung (Abb. 4.2) erhalten wir:

(3)

Wir haben ebenfalls ein Parallelogramm.

Die beiden Parallelogramme haben dieselben Seitenlängen. Ihre Winkel sind aber unterschiedlich.

Die Seitenlängen sind bis auf den Faktor die halben Diagonalenlängen des Startviereckes. Für v = 0 erhalten wir den klassischen Satz von Varignon.

Für v = 1 sind die Rhomben Quadrate (Abb. 5).

Abb. 5: Sonderfall Quadrate

In diesem Sonderfall sind die beiden Parallelogramme kongruent (Beweis rechnerisch).

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