Hans Walser, [20150119]
Verallgemeinerung des Vektorprodukts
Anregung: G. G., B.
In der Schule lernt man, dass das Vektorprodukt nur fźr Raumvektoren funktioniert. Das ist eine falsche Sicht.
Wir konstruieren zu zwei Raumvektoren
die formale Matrix A:
Die
EintrŠge in den ersten beiden Spalten von A
sind die Komponenten der Vektoren und
, die EintrŠge in der dritten Spalte sind keine
Zahlen, sondern die drei Einheitsvektoren eines rŠumlichen kartesischen
Koordinatensystems.
Fźr die formale Determinante erhalten wir mit der Entwicklung nach Laplace nach der dritten Spalte:
Diese
formale Determinante ist ein Vektor, und zwar das Vektorprodukt der beiden
Vektoren und
.
In der Ebene konstruieren wir analog zu einem Vektor
die formale Matrix A:
Die
EintrŠge in der ersten Spalte von A
sind die Komponenten des Vektors , die EintrŠge in der zweiten Spalte sind keine
Zahlen, sondern die beiden Einheitsvektoren eines ebenen kartesischen
Koordinatensystems. Nun berechnen wir formal die Determinante dieser Matrix A:
Diese
Determinante ist ein Vektor, und zwar der um +90ˇ gedrehte Vektor .
Wir
verallgemeinern in beliebige Dimensionen n.
Zu Vektoren
bilden wir die formale Matrix A:
Nun berechnen wir formal die Determinante:
Die
Schreibweise , gesprochen ăcross(...)Ň, ist an die Schreibweise des
Vektorproduktes angelehnt.
Die
Determinante ist ein
Vektor mit folgenden Eigenschaften:
á
Er ist orthogonal zu jedem der Inputvektoren
.
á
Seine LŠnge hat bis auf das
Vorzeichen dieselbe Ma§zahl wie das -dimensionale Volumen des durch
aufgespannten Spates.
á
Die Zuordnung ist
antikommutativ. Vertauschen zweier Inputvektoren stellt die Richtung um.
Fźr die Beweise verwenden wir die Bezeichnung:
Zu einer
quadratischen Matrix B bezeichnen wir
mit die
Determinante der Untermatrix, die sich aus B
durch Streichen der i-ten Zeile und
der j-ten Spalte ergibt.
Auf Grund der Berechnung einer Determinante nach der Entwicklung der letzten Spalte ist daher:
Wir
ersetzen in der Matrix A die letzte
Spalte, also die Spalte mit den Einheitsvektoren, durch die Komponenten eines Vektors
,
:
Weil der
Spaltenvektor nun
doppelt vorkommt, ist
. Andererseits liefert die Entwicklung nach der letzten
Spalte:
Der
Vektor ist also
orthogonal zu jedem der
Inputvektoren
.
Fźr die
LŠnge des Vektors gilt
zunŠchst (die Vorzeichen verschwinden durch das Quadrieren):
Nun
ersetzen wir in der Matrix A die
letzte Spalte, also die Spalte mit den Einheitsvektoren, durch die Komponenten
eines Vektors :
Die
Determinante der Matrix ist also
das n-dimensionale Volumen des durch
die n Vektoren
aufgespannten
Spates. Wegen der im vorangehenden Abschnitt festgestellten OrthogonalitŠt ist
dieser Spat aber ein gerades Prisma mit dem durch die
Vektoren
aufgespannten
-dimensionalen Spat als Grundfigur. Das
-dimensionale Volumen dieses Spates bezeichnen wir mit
G, in Anlehnung an die GrundflŠche im
rŠumlichen Fall. Es gilt also unter Berźcksichtigung allfŠlliger Vorzeichen:
Andererseits ist (Entwicklung nach der letzten Spalte):
Somit ist
.
Die AntikommutativitŠt ist eine Folge der VorzeichenŠnderung beim Vertauschen zweier Spalten in einer Determinantenberechnung.