Hans Walser, [20210401]

Verdoppelungsspirale

1   Die Spirale

Wir verwenden die logarithmische Verdoppelungsspirale, deren Abstand vom Zentrum sich mit einem Umlauf verdoppelt (Abb. 1). Die Spirale hat die Parameterdarstellung:

 

                                                                                                    (1)

 

 

 

 

 

Abb. 1: Die Spirale

Die x-Koordinaten der Schnittpunkte mit der x-Achse verdoppeln sich schrittweise (Abb. 2).

Abb. 2: Verdoppelung

2   LŠngen

Bei einem Umlauf verdoppeln sich die LŠngen (Abb. 3).

Abb. 3: LŠngenverdoppelung

3   FlŠchen

Die FlŠcheninhalte verdoppeln sich bereits nach einem halben Umlauf (Abb. 4).

Abb. 4: FlŠchenverdoppelung

Nach einem vollen Umlauf vervierfachen sich die FlŠcheninhalte (Abb. 5).

Abb. 5: Vervierfachung

4   Volumina

Das Wźrfelvolumen verdoppelt sich bereits nach einem Drittelumlauf (Abb. 6).

Abb. 6: Verdoppelung des Wźrfelvolumens

Die Abbildung 7 zeigt die Situation von oben. Die beiden Wźrfel sind leicht transparent gezeichnet, um die Spirale am Boden sichtbar zu machen. Zum Drittelumlauf gehšrt der eingezeichnete 120ˇ-Winkel.

Abb. 7: Sicht von oben

Bei zwei Dritteln eines Umlaufs (also einem Winkel von 240ˇ) vervierfacht sich das Wźrfelvolumen (Abb. 8).

Abb. 8: Volumenvervierfachung

Die Abbildung 9 zeigt die Sicht von oben.

Abb. 9: Sicht von oben

Ein voller Umlauf fźhrt zu einer Verdoppelung der KantenlŠngen und damit zu einem achtfachen Volumen (Abb. 10).

Abb. 10: Achtfaches Volumen

Die Abbildung 11 zeigt die Situation von oben.

Abb. 11: Sicht von oben

Websites

Hans Walser: Verdoppeln

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/V/Verdoppeln/Verdoppeln.htm

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/V/Verdoppeln/Verdoppeln.pdf

Hans Walser: Wźrfelverdoppelung

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Wuerfelverdoppelung/Wuerfelverdoppelung.htm

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Wuerfelverdoppelung/Wuerfelverdoppelung.pdf

Hans Walser: Wźrfelverdoppelung

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Wuerfelverdoppelung3/Wuerfelverdoppelung3.htm

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Wuerfelverdoppelung3/Wuerfelverdoppelung3.pdf

Hans Walser: Wźrfelverdoppelung

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Wuerfelverdoppelung4/Wuerfelverdoppelung4.htm

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Wuerfelverdoppelung4/Wuerfelverdoppelung4.pdf

Hans Walser: Wźrfelverdoppelung mit Stern und Spirale

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Wuerfelverdoppelung2/Wuerfelverdoppelung2.htm

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Wuerfelverdoppelung2/Wuerfelverdoppelung2.pdf