1 Worum es geht

Flächenmäßige Halbierung eines Quadrates

2 Basisfigur

Das kleine Quadrat ist gegenüber dem großen um 15° verdreht (Abb. 1).

Abb. 1: Verdrehtes Quadrat

3 Flächenhalbierung

Das kleine Quadrat hat den halben Flächeninhalt es großen Quadrates.

4 Beweis

Das große Quadrat habe die Seitenlänge 1.

Wir verdoppeln eines der rechtwinkligen Dreiecke (Abb. 2).

Abb. 2: Doppeltes Dreieck

Das verdoppelte Dreieck ist gleichschenklig mit der Schenkellänge 1 und dem Spitzenwinkel 30°. Für seinen Flächeninhalt A erhalten wir:

A = ½ 1² sin(30°) = ¼

Damit ist die Summe der Flächeninhalte der vier rechtwinkligen Dreiecke ½.

Die Abbildung 3 zeigt einen Zerlegungsbeweis für den Sachverhalt A = ¼.

Abb. 3: Zerlegung der gleichschenkligen Dreiecke

5 Vergleich

Die Abbildung 4 zeigt durch Vergleich, dass das verdrehte Quadrat flächenmäßig halb so groß ist wie das große Quadrat.

Abb. 4: Illustration

6 Folgerungen

Im großen Einheitsquadrat hat das verdrehte Quadrat die Seitenlängen cos(15°) – sin(15°). Daher ist:

7 Weitere Formeln im Kontext